수악중독

등차수열 \(\{a_n\}\) 과 등비수열 \(\{b_n\}\) 은 다음 조건을 만족한다. (가) \(a_1 =2 ,\;\; b_1 =2\) (나) \(a_2 =b_2 ,\;\; a_4 = b_4\) \(a_5 +b_5\) 의 값을 구하시오. (단, 수열 \(\{b_n\}\) 의 공비는 \(1\) 이 아니다.) 정답 10

\(n\) 단으로 된 계단을 \(1\) 단씩, \(2\) 단씩 혹은 섞어서 오르는 방법의 가지수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_n ,\;\; a_{n-1} ,\;\;a_{n-2}\) 의 관계식을 구하고, 이를 이용하여 \(a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(a_n = a_{n-1} +a_{n-2},\;\;\;a_{10}=89\)

다음 표는 어느 학교에서 한 달 전에 구입한 휴대용 저장장치의 용량에 따른 \(1\) 개당 가격과 개수의 현황을 나타낸 것이다. 현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두 \(40\%\) 씩 하락하였다. 이 학교에서 휴대용 저장 장치의 용량과 개수를 위 표와 동일하게 현재의 가격으로 구입한다면 지불해야 하는 금액은? (단, \(a>0\) 이고 \(b>0\) 이다.) ① \(\dfrac{128}{5} ab \left \{ 1- \left ( \dfrac{1}{4} \right ) ^2 \right \}\) ② \(32 ab \left \{ 1- \left ( \dfrac{3}{4} \right ) ^2 \right \}\) ③ \(32 ab \left \{ 1- \left ( \dfrac{1..

그림과 같이 \(1\) 부터 \(1000\) 까지의 자연수가 쓰여진 흰색 종이띠에 \(1\) 부터 시작하여 공차가 \(4\) 인 등차수열의 수가 있는 부분에는 빨간색, \(3\) 부터 시작하여 공비가 \(3\) 인 등비수열의 수가 있는 부분에는 파란색을 칠하였다. 빨간색과 파란색이 겹쳐 칠해진 부분에 쓰여진 수 중에서 가장 큰 수를 구하시오. 정답 729

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n\) 이 원 \(x^2 +y^2 =1\) 위의 점일 때, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (단, 점 \({\rm P}_n\) 은 좌표축 위의 점이 아니다.) (가) 점 \({\rm P}_n\) 이 제 \(1\) 사분면 위의 점이면, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 원 위의 호를 따라 시계 반대 방향으로 \(\dfrac{\pi}{2}\) 만큼 이동시킨 점이다. (나) 점 \({\rm P}_n\) 이 제 \(2\) 사분면 또는 제 \(4\) 사분면 위의 점이면, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 \(x\) 축에 대하여 대칭이동시킨 점이다. (다) ..

\(a_1 =2, \; a_2 =1, \;\;a_{n+1} a_n - 2a_{n+2} a_n +a_{n+1} a_{n+2} =0 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 으로 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(\sum \limits _{k=1}^{20} {\displaystyle \frac{1}{a_k}}\) 의 값을 구하시오. 정답 105

그림과 같이 나무에 \(55\) 개의 전구가 맨 위 첫 번째 줄에는 \(1\) 개, 두 번째 줄에는 \(2\) 개, 세 번째 줄에는 \(3\) 개, \(\cdots\), 열 번째 줄에는 \(10\) 개가 설치되어 있다. 전원을 넣으면 이 전구들은 다음 규칙에 따라 작동한다. (가) \(n\) 이 \(10\) 이하의 자여연수일 때, \(n\) 번째 줄에 있는 전구는 \(n\) 초가 되는 순간 처음 켜진다. (나) 모든 전구는 처음 켜진 후 \(1\) 초 간격으로 꺼짐과 켜짐을 반복한다. 전원을 넣고 \(n\) 초가 되는 순간 켜지는 모든 전구의 개수를 \(a_n\) 이라고 하자. 예를 들어, \(a_1 =1,\;a_4 =6,\; a_{11} =25\) 이다. \(\sum \limits _{n=1}^{14}..

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \(\left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{n}} \right ) ^n >2\) 가 성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 \(n\) 이 \(6\) 이상의 자연수일 때, 부등식 \(\left ( {\displaystyle \frac{n}{2}} \right ) >n!\) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, \(n!=1\times 2 \times 3 \times \cdots \times n\)) (i) \(n=6\) 일 때 \(3^6 = 729,\;\; 6!=720\) 이므로 성립한다. (ii) \(n=k\;\;(k\ge 6)\) 일 때 성립한다고 가정하면 \(\left ( {\displaystyle \..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =1\) 이고, \(a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k \;\;(n\ge 2)\) 를 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식으로부터 \(a_2 =7\) 이다. 자연수 \(n \;\; ( n \ge 3) \) 에 대하여 \(a_n = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-1} (2k+1)a_k = n^2 + \sum \limits _{k=1}^{n-2} (2k+1)a_k +(2n-1) a_{n-1} \) \(= n^2 + a_{n-1} - (가) + (2n-1) a_{n-1} \) 이므로, \(a_n +1 = 2n ( a_{n-1} +1 )\) 이 성립한다. 따..

그림과 같은 모양의 \(4\) 층 탑을 쌓았을 때, 크기가 같은 \(44\) 개의 정육면체가 필요하였다. 이와 같은 규칙으로 \(10\) 층 탑을 쌓으려고 할 때, 필요한 정육면체의 총 개수를 구하면? ① \(650\) ② \(670\) ③ \(690\) ④ \(710\) ⑤ \(730\) 정답 ②