수악중독

의 수열 \(\{a_n\}\) 중 극한값 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_1 +a_2 + \cdots + a_n}{n}\) 이 존재하는 것을 모두 고르면? ㄱ. \(a_n =n\) ㄴ. \(a_n = \dfrac{1}{2^n}\) ㄷ. \( a_n = (-1)^n\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

세 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}, \; \{c_n\}\) 에 대한 옳은 설명을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. 두 수열 \(\{a_n\},\; \{a_n b_n\}\) 이 모두 수렴하면, 수열 \(\{b_n\}\) 은 수렴한다. ㄴ. \(\lim \limits _{n \to \infty} (a_n -2b_n ) =0 \) 이고 \(\lim \limits _{n \to \infty} b_n =1\) 이면, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n =2\) 이다. ㄷ. \(a_n < b_n < c_n\) 이고 \(\lim \limits_{n \to \infty} (c_n - a_n) =0\) 이면, 수열 \(\{b_n\}\) 은 수렴한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ..

서로 다른 자연수 \(a_1 , \; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n\) 에 대하여 \(a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 = 2340\) 을 만족시키는 \(n\) 의 최댓값을 찾는 과정이다. \(\sum \limits _{k=1}^{m} k^2 >2340\) 을 만족시키는 자여연수의 \(m\) 의 최솟값은 (가) 이다. 따라서, \(a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 = 2340\) 을 만조족시키는 \(n\) 의 최댓값은 (가)보다 작거나 같다. 한편, \(\sum \limits _{k=1}^{20} k^2 - \left ( 19^2 +(나) \right ) =2340\) 이므로 \(n\) 의 최댓값은 (다) 이다. 위 과정에서..

첫째항이 \(m\), 공차가 \(1\) 인 등차수열의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합이 \(50\) 일 때, \(m+n\) 의 값을 구하시오. (단, \(m \le 10\) 인 자연수) 정답 13

양의 실수로 이루어진 등차수열 \(a_1 , \;a_2,\; a_3 ,\; \cdots , a_{21}\) 에서 홀수 번 째 항들의 합을 \(S\), 짝수 번 째 항들의 합을 \(T\) 라 할 때, \(S\;:\;T\) 는? ① \(11:10\) ② \(10:11\) ③ \(21:20\) ④ \(20:21\) ⑤ \(11:21\) 정답 ①

수직선 위에 점 \({\rm P}_n \;\; (n= 1, \; 2,\; 3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \(\rm P_1 (0)\) 이다. (나) \(\overline {\rm P_1 P_2} =1 \) 이다. (다) \(\overline {{\rm P}_n {\rm P}_{n+1}} = \dfrac{n-1}{n+1} \times \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n} \;\;\; (n=2,\;3,\;4,\;\cdots)\) 선분 \({\rm P}_n {\rm P}_{n+1} \) 을 밑변으로 하고 높이가 \(1\) 인 직각삼각형의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. \(S_1 +S_2 +S_3 + \cdots +..

정삼각형 \(\rm ABC\) 에서 변 \(\rm AC\) 를 \((n+1)\) 등분한 점을 각각 \(\rm A_1 ,\;A_2 ,\; A_3 , \; \cdots,\;A_{\it n}\) 이라 하고, 변 \(\rm BC\) 를 \((n+1)\) 등분한 점을 각각 \(\rm B_1 ,\;B_2 ,\; B_3 , \; \cdots,\;B_{\it n}\) 이라 하자. 다음 [단계] 와 같은 순서로 선분을 긋는다. [단계1] 꼭짓점 \(\rm C\) 와 선분 \(\rm AB\) 의 중점 \(\rm M\) 을 여연결한 선분 \(\rm CM\) 을 긋는다. [단계2] 꼭짓점 \(\rm A\) 와 점 \(\rm B_1 ,\;B_2 ,\; B_3 , \; \cdots,\;B_{\it n}\) 을 각각 연결한 선분 ..

다음은 \(A= \left ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) \) 일 때, \(A^n\) 을 구하는 과정이다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(A^n = \left ( \begin{matrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) \) 이라 하자. 행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여 \(A^{n+1} = A \cdot A^n = A^n \cdot A\) 이므로 $$\begin{aligned} \left ( \begin{matrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{matrix} \right ) &= \left ( \begin{matrix} 1 &..

수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n =3+(-1)^n\) 일 때, 좌표평면 위의 점 \({\rm P}_n\) 을 \[{\rm P}_n \left (a_n \cos \dfrac{2n\pi}{3}, \; a_n \sin \dfrac{2n\pi}{3} \right )\] 라 하자. 점 \({\rm P}_{2009}\) 와 같은 점은? ① \(\rm P_1\) ② \(\rm P_2\) ③ \(\rm P_3\) ④ \(\rm P_4\) ⑤ \(\rm P_5\) 정답 ⑤

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. (단, \(a_1