수악중독

다음은 등식 \[\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}\] 가 성립함을 증명한 것이다. \(\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)\) \(=\sum \limits_{k=1}^{n} (가) \) \(=4! \left \{ \dfrac{4!}{4! \times 0!} + \dfrac{5!}{4! \times 1!} + \cdots + \dfrac{(n+3)!}{4! \times (n-1)!} \right \} \) \(=4! \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} (나)\) \(= 4! \cdot (다)\) \(=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}\)..

수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 =0,\; a_n + a_{n+1} =n\) 을 만족시킨다. 다음은 두 자연수 \(m,\;n\) 에 대하여 \(\sum \limits _{k=n-m+1}^{n+m} a_k \) 의 값을 구하는 과정이다. (단, \(m

한 면은 흰 색, 다른 며면은 검은색인 같은 크기의 정사각형 모양의 카드를 다음 규칙에 의해 그림과 같이 놓는다. [1단계] 검은색 면이 보이도록 카드를 한 개 놓는다. [2단계] 1단계에서 놓여진 카드를 흰 색 며면이 보이도록 뒤집고, 그 카드 위쪽과 오른쪽에 검은색 며며니 보이도록 두 개의 카드를 놓는다. [3단계] 2단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 2단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 세 개의 카드를 놓는다. \(\vdots\) [\(n\)단계] \(n-1\) 단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 \(n-1\) 단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 \(n\) 개의 카드를 놓는다. \(n\) 단계에서 보이는 면의 색..

좌표평면에서 점 \(\rm A_{\it n}\) \((n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \(\rm A_1\) 의 좌표는 \((0,\;0)\) 이다. (나) 점 \({\rm A}_{4n-3}\) 을 \(x\) 축 방향으로 \((4n-3)\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm A}_{4n-2}\) 이다. (다) 점 \({\rm A}_{4n-2}\) 을 \(y\) 축 방향으로 \((4n-2)\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm A}_{4n-1}\) 이다. (라) 점 \({\rm A}_{4n-1}\) 을 \(x\) 축 방향으로 \((4n-1)\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm A}_{4n}\) 이다. (마) 점 \({\rm A}_{4n}\) 을 \(..

한 개의 정삼각형에서 각 변의 중점을 선분으로 이으면 \(4\) 개의 작은 정삼각형이 생긴다. 이때, 가운데 정삼각형 하나를 잘라내면 \(3\) 개의 정삼각형이 남는다. 남은 \(3\) 개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 \(9\) 개의 정삼각형이 남고, 다시 \(9\) 개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 계속하여 만들어지는 도형을 나타낸 것이다. 두 정삼각형이 공유하는 꼭짓점은 한 개의 꼭짓점으로 셀 때, \(n\) 번째 도형에서 남은 정삼각형들의 꼭짓점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1 =6, \; a_2 =15\) 이다. \(a_5\) 의 값은? ① \(366\) ② \(376\) ③ \(386\) ④ \(396\) ⑤\(406\) 정답 ①

그림과 같이 \(1\) 행에는 \(1\) 개, \(2\) 행에는 \(2\) 개, \(\cdots\), \(n\) 행에는 \(n\) 개의 원을 나열하고 그 안에 다음 규칙에 따라 \(0\) 또는 \(1\) 을 써 넣는다. (가) \(1\) 행의 원 안에는 \(1\) 을 써 넣는다. (나) \(n \le 2\) 일 때, \(1\) 행부터 \((n-1)\) 행까지 나열된 모든 원 안의 수의 합이 \(n\) 이상이면 \(n\) 행에 나열된 모든 원 안에 \(0\) 을 써 넣고, \(n\) 미만이면 \(n\) 행에 나열된 모든 원 안에 \(1\) 을 써 넣는다. \(1\) 행부터 \(32\) 행까지 나열된 워 안에 써 넣은 모든 수의 합을 구하시오. 정답 63

\(1\) 부터 연속된 자연수를 나열하여 각 자릿수로 다음과 같은 수열을 만들었다.\[1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;1,\;0,\;1,\;1,\;1,\;2,\;1,\;3,\;1,\;4,\;\cdots\] 이 수열의 제 \(n\) 항부터 연속된 네 개의 항이 차례로 \(2,\;0,\;1,\;0\) 일 때, 자연수 \(n\) 의 최솟값은? ① \(2960\) ② \(2964\) ③ \(2968\) ④ \(2972\) ⑤ \(2976\) 정답 ④

그림과 같이 좌표평면의 제 \(1\)사분면을 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형들로 나누어 자연수를 배열하였다. \(y=x^2\;\;(0\le x \le 10)\) 의 그래프가 지나는 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형에 배열된 수들의 합은? (단, 그래프가 정사각형의 내부를 지나지 않는 경우는 제외한다.) ① \(5625\) ② \(5640\) ③ \(5665\) ④ \(5680\) ⑤ \(5695\) 정답 ③

수열 \(\{a_n\}\) 의 제 \(n\) 항 \(a_n\) 을 자연수 \(k\) 의 양의 제곱근 \(\sqrt{k}\) 를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하여 \(n\) 이 되는 \(k\) 의 개수라 하자. \(\sum \limits_{i=1}^{10} a_i\) 의 값을 구하시오. 정답 110

그림과 같이 홀수를 삼각형 모양으로 배열하고 어두운 부분에 있는 수를 크기 순으로 나열하여 수열 \[1,\;3,\;7,\;9,\;13,\;17,\;19,\; \cdots\] 을 만들었다. 이 수열의 제 \(66\) 항을 구하시오. 정답 241