수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 정삼각형 $\rm ABC$ 의 외심을 $\rm O$ 라 할 때, 중심이 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm AO}$ 인 원을 $O_{\rm A}$ , 중심이 $\rm B$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BO}$ 인 원을 $O_{\rm B}$, 중심이 $\rm C$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm CO}$ 인 원을 $O_{\rm C}$ 라 하자. 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm B}$ 의 내분의 공통부분, 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm C}$ 의 내부의 공통부분, 원 \(O_{\r..

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 $\rm A_1(0,\;\sqrt{3}), \; B_1(-1,\;0),\; C_1(1,\;0)$ 이 있다. 세 점 $\rm A_1, \;B_1,\;C_1$ 에 대하여 선분 $\rm A_1C_1$ 을 $4:1$ 로 외분하는 점과 $2:1$ 로 내분하는 점을 각각 $\rm A_2, \;B_2$ 라 하고, 삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 가 정삼각형이 되도록 점 $\rm C_2$ 를 정한다. 또, 선분 $\rm A_2C_2$ 를 $4:1$로 외분하는 점과 $2:1$ 로 내분하는 점을 각각 $\rm A_3, \;B_3$ 이라 하고, 삼각형 $\rm A_3B_3C_3$ 이 정삼각형이 되도록 점 $\rm C_3$ 를 정한다. 이..

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 에서 선분 $\rm A_1D_1$ 의 중점을 $\rm M_1$ 이라 하자. 중심이 $\rm A_1$, 반지름의 길이가 $\rm A_1B_1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm A_1B_1M_1$ 을 그리고, 부채꼴 $\rm A_1B_1M_1$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 부채꼴 $\rm A_1B_1M_1$ 의 호 $\rm B_1M_1$ 이 선분 $\rm A_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm A_2$ 라 하고, 중심이 \(..

자연수 $n$ 에 대하여 두 점 ${\rm P}_{n-1}, \; {\rm P}_n$ 이 함수 $y=x^2$ 의 그래프 위의 점일 떄, 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 두 점 ${\rm P}_0, \; \rm P_1$ 의 좌표는 각각 $(0, \;0),\;(1, \;1)$ 이다. (나) 점 ${\rm P}_{n+1}$ 은 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 직선 ${\rm P}_{n-1} {\rm P}_n$ 에 수직인 직선과 함수 $y=x^2$ 의 그래프의 교점이다. (단, ${\rm P}_n$ 과 ${\rm P}_{n+1}$ 은 서로 다른 점이다.) \(l_n = \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n..

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 과 직선 $y=-x+n$ 이 만나서 생기는 두 교점 사이의 거리를 $l_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to 0} \dfrac{l_n ^2}{n}$ 의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 정답 ④

수열 $\{a_n\}$ 이 $7a_1+7^2a_2+\cdots+7^na_n=3^n-1$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{3^{n-1}}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{4}{9}$ ③ $\dfrac{5}{9}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{7}{9}$ 정답 ①

그림과 같이 좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=x+\dfrac{1}{n}$ 과 원 $x^2+y^2=1$ 이 만나는 두 점을 각각 ${\rm P}_n,\; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 넓이를 $A_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot A_n$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ③ $1$ ④ $\sqrt{2}$ ⑤ $\sqrt{3}$ 정답 ①

닫힌 구간 $[-2, \;5]$ 에서 정의된 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같다. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{|nf(a)-1|-nf(a)}{2n+3}=1$ 을 만족시키는 상수 $a$ 의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ②

자연수 $n$ 에 대하여 $1$ 부터 $6n$ 까지의 자연수의 총합을 $A_n$, $1$ 부터 $6n$ 까지의 자연수 중에서 $3$ 의 배수를 제외한 자연수의 총합을 $B_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{A_n}{B_n}=\dfrac{q}{p}$ 이다. 이때, 서로소인 자연수 $p,\;q$ 의 합 $p+q$ 의 값을 구하시오. 정답 $5$

$a_1=16$ 인 무한등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n a_k =S_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 발산할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(S_{n+1})^2-(S_n)^2}{S_n}=\alpha$ 이다.$\alpha+S_{10}$ 의 값을 구하시오. (단, $\alpha$ 는 상수이다.) 정답 $192$