수악중독

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-1}{2x^{2n}+2}, \;\; g(x)=x^2-1$ 에 대하여 $h(x)=f(x)g(x)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 1+} h(x)=0$ ㄴ. 함수 $h(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 실수 $k$ 에 대하여 방정식 $h(x)-k=0$ 의 실근의 개수가 $1$ 일 때, 함수 $|h(x)-k|$ 가 $x=a$ 에서 극소인 실수 $a$ 의 개수는 $2$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

첫째항이 $-19$ 이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $S_2 = -35$ 일 때, $a_3 = -13$ 이다.ㄴ. $S_9 = S_{11}$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = -\dfrac{1}{38}$ 이다.ㄷ. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = -\dfrac{1}{57}$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{|a_n a_{n+1}|}=\dfrac{56}{57}$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ..

수열의 수렴과 발산 극한값의 계산 (1) - 수열의 극한에 대한 기본 성질, $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한값의 계산 극한값의 계산 (2) - $\infty - \infty$ 꼴의 극한값의 계산 극한값의 계산 (3) - 수열의 극한의 대소 관계 등비수열의 극한 수열의 극한 심화개념 점화식과 극한 수열의 극한 유형정리 수열의 극한 진위형 유형정리 위 파일을 다운로드하여 풀어보세요. 해설지가 첨부되어 있습니다. 모르는 문제는 언제든지 댓글로 질문해주세요~~ 목록 다음

두 함수 $f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}}{1+x^{2n}}, \;\; g(x)=x+a$ 의 그래프의 교점의 개수를 $h(a)$ 라 할 때, $h(0)+\lim \limits_{a \to 1+} h(a)$ 의 값은? (단, $a$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④

그림과 같이 $x$ 좌표가 $1, \;2,\;3,\; \cdots, \; n$ 인 $x$ 축 위의 점에서 $y$ 축에 평행한 직선을 그어 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $n$ 개 만든다. 이 직사각형들이 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{n^2+1}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다) 정답 $17$

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 와 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 와 평행한 직선 $l$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 중심 ${\rm O}_n$ 이 변 $\rm AC$ 위에 있고 반지름의 길이가 $\sqrt{3} \left (\dfrac{1}{2} \right ) ^{n-1}$ 인 원이 직선 $\rm AB$ 와 직선 $l$ 에 모두 접한다. 이 원과 직선 $\rm AB$ 가 접하는 점을 ${\rm P}_n$ , 직선 ${\rm O}_n{\rm P}_n$ 과 직선 $l$ 이 만나는 점을 ${\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm BO}_n{\rm Q}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \inf..

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2 - \left (4 + \dfrac{1}{n} \right ) x + \dfrac{4}{n}$ 와 직선 $y=\dfrac{1}{n}x+1$ 이 만나는 두 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 무게중심의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $30 \lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $20$

자연수 $n$ 에 대하여 좌표가 $(0, \; 3n+1)$ 인 점을 ${\rm P}_n$, 함수 $f(x)=x^2\;(x \ge 0)$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점을 ${\rm, Q}_n$ 이라 할 때, 다음 두 물음에 답하시오.(1) 점 ${\rm Q}_n$ 의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $f^{-1}(a_2) \cdot f ^{-1} (a_9)$ 의 값은? ① $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ ② $7$ ③ $7\sqrt{2}$ ④ $7\sqrt{3}$ ⑤ $14$ (2) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 ${\rm R}_n$ 은 직선 ${\rm P}_n{\rm R}_n$ 의 기울기가 음수이고 $y..

좌표평면 위의 점 ${\rm P}_n \;(n=1, \;2, \;3,\; \cdots)$ 은 다음 규칙을 만족시킨다. (가) 점 $\rm P_1$ 의 좌표는 $(1, \;1)$ 이다.(나) $\overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}}=1$(다) 점 ${\rm P}_{n+2}$ 는 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 지나고 직선 ${\rm P}_n {\rm P}_{n+1}$ 에 수직인 직선 위의 점 중 $\overline{{\rm P_1}{\rm P}_{n+2}}$ 가 최대인 점이다. 수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=0,\; a_2=1$ 이고, \[a_n=\overline{{\rm P_1}{\rm P}_n} \;\; (n=3,\;4,\;5,\;\cd..

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1$ 의 무게중심을 $\rm A_2$, 점 $\rm A_2$ 를 지나는 원과 두 변 $\rm A_1B_1, \; A_1C_1$ 의 접점을 각각 $\rm B_2, \; C_2$ 라 하자. 호 $\rm A_2B_2$, 선분 $\rm B_2B_1$, 선분 $\rm B_1A_2$ 와 호 $\rm A_2C_2$, 선분 $\rm C_2C_1$, 선분 $\rm C_1 A_2$ 로 둘러싸인 부분의 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 의 무게중심을 $\rm A_3$, 점 $\rm A_3$ 를 지나는 원과 두 변..