수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정팔각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 G_1 H_1$ 의 내부에 정사각형 $\rm A_1 C_1 E_1 G_1$ 과 $\rm B_1 D_1 F_1 H_1$ 을 그리고 두 정사각형 $\rm A_1 C_1 E_1 G_1$ 과 $\rm B_1 D_1 F_1 H_1$ 의 변으로 둘러싸인 삼각형에 색칠하여 얻은 $8$ 개의 삼각형을 $T_1$ 이라 하고, 그 $8$ 개의 삼각형의 넓이를 $S_1$ 이라 하자. 또 두 정사각형 $\rm A_1 C_1 E_1 G_1$ 과 $\rm B_1 D_1 F_1 H_1$ 의 변의 교점을 \(\rm A_2 , \; B_2 ,\; C_2 , \; D_2 , \; E_2 ,\;..

그림과 같이 모선 $\rm OA_1$ 의 길이가 $8$, 밑면의 지름 $\rm A_0 A_1$ 의 길이가 $4$ 인 원뿔이 있다. 점 $\rm A_1$ 을 출발하여 원뿔을 한 바퀴 돌아 다시 점 $\rm A_1$ 으로 돌아오는 최단 경로의 길이를 $l_1$ 이라 하고, 이 최단 경로와 모선 $\rm OA_0$ 가 만나는 점을 $\rm A_2$ 라 하자. 또, 점 $\rm A_2$ 를 출발하여 원뿔을 한 바퀴 돌아 다시 점 $\rm A_2$ 로 돌아오는 최단 경로의 길이를 $l_2$ 라 하고, 이 최단 경로와 모선 $\rm OA_1$ 이 만나는 점을 $\rm A_3$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 최단 경로의 길이를 \(l_n..

좌표평면 위에 점 $\rm P_1 (2,\;0)$ 이 있다. 삼각형 $\rm OP_1 Q_1$ 이 정삼각형이 되도록 제$1$사분면 위의 점 $\rm Q_1$ 을 잡는다. 선분 $\rm OQ_1$ 의 중점을 $\rm P_2$ 라 하고, 삼각형 $\rm OP_2 Q_2$ 가 정삼각형이 되도록 정삼각형 $\rm OP_1 Q_1$ 의 외부에 점 $\rm Q_2$ 를 잡는다. 선분 $\rm OQ_2$ 의 중점을 $\rm P_3$ 이라 하고, 삼각형 $\rm OP_3 Q_3$ 이 정삼각형이 되도록 정삼각형 $\rm OP_2 Q_2$ 의 외부에 점 $\rm Q_3$ 를 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 점 $\rm Q_{\it n}$ 의 좌..

자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 과 함수 $y= \tan x$ 의 그래프가 제 $1$ 사분면에서 만나는 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{4}$ ② $\dfrac{\pi}{2}$ ③ $\dfrac{3}{4} \pi$ ④ $\pi$ ⑤ $\dfrac{5}{4} \pi$ 정답 ④

직사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 에서 $\overline{\rm A_1 B_1} =1,\; \overline{\rm A_1 D_1}=2$ 이다. 그림과 같이 선분 $\rm A_1 D_1$ 과 선분 $\rm B_1 C_1$ 의 중점을 각각 $M_1, \; N_1$ 이라 하자. 중심이 $\rm N_1$, 반지름의 길이가 $\overline{\rm B_1 N_1}$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm N_1 M_1 B_1$ 을 그리고, 중심이 $\rm D_1$, 반지름의 길이가 $\overline{\rm C_1 D_1}$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 \(\rm D_1 M_1 C_1\..

한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형과 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. [그림 1]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 $\rm ABC$ 를 회전시킨다. 정삼각형 $\rm ABC$ 가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 $n$ 바퀴 도는 동안, 변 $\rm BC$ 가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 $a_n$ 이라 하자. 예를 들어, $n=1$ 일 때, [그림 2]와 같이 변 $\rm BC$ 가 $2$ 회 놓이므로 $a_1 =2$ 이다. 이때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{3n-2}}{n}$ 의 값은? ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ..

실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(a)$ 를 $f(a)=\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{a^{n+1} +a^{-n} -1}{a^n +a^{-n+1} +1}$ 로 정의할 때, $f \left ( f \left ( -\dfrac{1}{2} \right ) \right )$ 의 값은? (단, $a \ne 0$ ) ① $-2$ ② $-\dfrac{1}{2}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{1}{2}$ ⑤ $2$ 정답 ①

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 지름 $\rm AB$ 의 길이가$4$ 인 원이 있다. 두 선분 $\rm AO, \; BO$ 를 각각 지름으로 하는 두 원을 그린 후, 이 두 원에 외접하며 원 $\rm O$ 에 내접하는 두 원을 그린다. 이렇게 그린 네 원의 내분에 색을 칠하여 얻은 그림을 $T_1$ 이라 하자. 그림 $T_1$ 에서 원 $\rm O$ 의 지름 $\rm AB$ 와 만나는 두 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리고 새로 그려진 모든 원의 내부의 색을 지워 얻은 그림을 $T_2$ 라 하자.그림 $T_2$ 에서 원 $\rm O$ 의 지름 $\rm AB$ 와 만나는 네 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리..

좌표평면에 원 $C_1 : x^2 +y^2 =9$ 가 있다. 그림과 같이 $x$ 축 위의 점 ${\rm A}(5,\;0)$ 에서 원 $C_1$ 에 두 개의 접선 $l_1 , \; l_2$ 를 그었을 때 생기는 접점을 각각 $\rm P_1 , \; Q_1$ 이라 하고, 원 $C_1$ 과 $x$ 축의 교점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\rm R_1$ 이라 하자. 중심이 $x$ 축 위에 있고 중심의 $x$ 좌표가 양수이면서 원 $C_1$ 과 외접하고 두 직선 $l_1 ,\; l_2$ 에 접하는 원을 $C_2$ 라 하자. 원 $C_2$ 와 원 $C_1$ 의 접점을 $\rm R_2$, 두 직선 $l_1 ,\; l_2$ 와의 교점을 각각 \(\..

그림과 같이 넓이가 $M$인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 자연수 $n$ 과 선분 $\rm AC$ 위의 두 점 $\rm D,\;E$ 에 대하여 $\overline{\rm AD} : \overline{\rm DE} : \overline{\rm EC} = n:(2n+1):(3n+2)$ 이고 $\overline{\rm DE} // \overline{\rm AB},\;\; \overline{\rm GE} // \overline{\rm BC}$ 이다. 선분 $\rm DF$ 와 선분 $\rm GE$ 의 교점을 지나는 선분 $\rm HI$ 는 선분 $\rm AC$ 와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to..