수악중독

$2500 \rm L$ 의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 $1200 \rm L$ 의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 $12$ 를 사용한 다음 $x \rm L$ 의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 $n$ 번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 $a_n \rm L$ 라 하자. 부등식 $\lim \limits_{n \to \infty} a_n \leq 2000$ 이 성립하도록 하는 $x$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $240$

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 $1$ 호 댐과 $2$ 호 댐이 있다. 강 상류의 $1$ 호 댐으로부터 $2$ 호 댐으로 매일 $100$ 만톤의 물이 유입되고, 정오에 $2$ 호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 $2$ 를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 $2$ 호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (단 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.)① $4400$ 톤 ② $4600$ 톤 ③ $4800$ 톤 ④ $5000$ 톤 ⑤ $5200$ 톤 정답 ④

무한등비수열 $\left \{ \left ( - \sin \dfrac{k \pi}{4} \right ) ^n \right \}$ 이 수렴하도록 하는 $10$ 이하의 자연수 $k$ 의 개수는? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 정답 ④

자연수 $n$ 에 대하여 다음과 같이 제$n$행에 $0$ 과 $1$ 사이의 유리수 중에서 분모는 $2^n$ 이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다. 제$1$행 $\dfrac{1}{2}$ 제$2$행 $\dfrac{1}{4},\; \dfrac{3}{4}$ 제$3$행 $\dfrac{1}{8}.\; \dfrac{3}{8},\; \dfrac{5}{8}, \; \dfrac{7}{8}$ $\vdots$ 제 $n$ 행의 마지막 수를 $a_n$, 제$n$행의 모든 수의 합을 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\left ( 2^n +1 \right ) a_n}$ 의 값은? ① ..

첫째항이 $12$ 이고 공비가 $\dfrac{1}{3}$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 수열 $\{b_n\}$ 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) $b_1=1$(나) $n \geq 1$ 일 때 $b_{n+1}$ 은 점 ${\rm P}_n \left (-b_n , \; b_n^2 \right )$ 을 지나고 기울기가 $a_n$ 인 직선과 곡선 $y=x^2$ 의 교점 중에서 ${\rm P}_n$ 이 아닌 점의 $x$ 좌표이다. $\lim \limits_{n \to \infty} b_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $19$

무한수열 $2+\dfrac{1}{2},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}, \;\; \cdots$은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다. 주어진 수열을 $\{a_n\}$ 이라 하면 $a_1=2+\dfrac{1}{2}$ 이고 이 수열의 극한값을 $x$ 라고 하면 $\lim \limits_{n \to \infty} a_n = x, \;\; \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}=x$ 이므로 $x=(가)+\dfrac{1}{x}$ 이다. 따라서 구하는 극값값은 $(나)$ 이다. 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? ① ..

다음과 같이 정의된 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. $\left\{ {\begin{array}{ll} {{a_1} = 2}\\ {{a_{n + 1}} = \dfrac{3}{4}{a_n} + 4\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \right)} \end{array}\;\;} \right.$ $\lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $16$

자연수 $n$ 에 대하여 $S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}k(k+1),\;\; T_n=\sum \limits_{k=1}^{n} (n+k)(n+k+1)$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{T_n}{S_n}$ 의 값을 구하시오. 정답 $7$

좌표평면 위에서 직선 $y=\sqrt{3}x$ 가 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 축 위의 점 중에서 $x$ 좌표가 $n$ 인 점을 ${\rm P}_n$, 직선 $y=\sqrt{3}x$ 위의 점 중에서 $x$ 좌표가 $\dfrac{1}{n}$ 인 점을 ${\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 내접원의 중심에서 $x$ 축까지의 거리를 $a_n$, 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 외접원의 중심에서 $x$ 축까지의 거리를 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = L$ 이다. $100L$ 의 값을 구하시오. (단 \(\rm O\..

$a_1=1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $3a_n -1 >0$ (나) $3a_{n+1} -1 < \dfrac{1}{2} (3a_n -1)$ $\lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $1$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 정답 ②