수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 \(\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1\) 인 직사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 에서 선분 \(\rm A_1D_1\) 의 중점을 \(\rm M_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm A_1\), 반지름의 길이가 \(\rm A_1B_1\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 을 그리고, 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 의 호 \(\rm B_1M_1\) 이 선분 \(\rm A_1C_1\) 과 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하고, 중심이 \(\rm A_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm A_1D_1}\) 인 원이 선분 \(\rm A_1C_1\) 과 만나는 점을 \(\rm C_2\) 라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가 \(2:1\) 이고 가로가 선분 \(\rm A_1D_1\) 과 평행한 직사각형 \(\rm A_2B_2C_2D_2\) 에서 그림 \(R_1\) 얼 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

① \(\dfrac{5}{16}\pi\)          ② \(\dfrac{11}{32}\pi\)          ③ \(\dfrac{3}{8}\pi\)          ④ \(\dfrac{13}{32}\pi\)          ⑤ \(\dfrac{7}{16}\pi\)         

 

 

 

정답 ①