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목록미적분과 통계기본 (526)
수악중독
두 다항함수 \(f_1 (x),\; f_2 (x)\) 가 다음 세 조건을 만족시킬 때, 상수 \(k\) 의 값은? (가) \(f_1 (0)=0,\;\; f_2 (0) =0\) (나) \(f_i ' (0)=\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f_i (x) +2kx}{f_i (x)+kx} \;\;(i=1,\;2)\) (다) \(y=f_1 (x)\) 와 \(y=f_2 (x)\) 의 원점에서의 접선이 서로 직교한다. ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(0\) ④ \(-\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(-\dfrac{1}{2}\) 정답 ①
최고차항의 계수가 \(1\) 이 아닌 다항함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(1)\) 의 값을 구하시오. (가) \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)\}^2 - f\left ( x^2 \right )}{x^3 f(x)}=4\) (나) \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{x}=4\) 정답 19
함수 \(f(x)=-3x^4 +4(a-1)x^3 +6ax^2 \;\;(a>0)\) 과 실수 \(t\) 에 대하여, \(x \le t\) 에서 \(f(x)\) 의 최댓값을 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 \(a\) 의 최댓값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①
다항함수 \(f(x),\; g(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)= \left \{ \matrix {f(x) & (x \ge 0) \\ g(x) & (x
사차함수 \(f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+6\) 이 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(3)\) 의 값을 구하시오. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=f(x)\) 이다. (나) 함수 \(f(x)\) 는 극솟값 \(-10\) 을 갖는다. 정답 15 사차함수 그래프의 개형이 5가 밖에 없다는 것을 알고 있다면 다음과 같은 풀이가 가능하다.
원점을 지나는 최고차항의 계수가 \(1\) 인 사차함수 \(y=f(x)\) 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f(2+x)=f(2-x)\) (나) \(x=1\) 에서 극솟값을 갖는다. 이 때, \(f(x)\) 의 극댓값을 \(a\) 라 할 때, \(a^2\) 의 값을 구하시오. 정답 64
함수 \(f(x)=\dfrac{1}{3} x^3 -x^2 -3x\) 는 \(x=a\) 에서 극솟값 \(b\) 를 가진다. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프 위의 점 \((2,\;f(2))\) 에서 접하는 직선을 \(l\) 이라 할 때, 점 \((a,\;b)\) 에서 직선 \(l\) 까지의 거리가 \(d\) 이다. \(90d^2\) 의 갑을 구하시오. 정답 16
사차함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\dfrac{f'(5)}{f'(3)}\) 의 값을 구하시오. (가) 함수 \(f(x)\) 는 \(x=2\) 에서 극값을 갖는다. (나) 함수 \(\left | f(x)-f(1) \right |\) 은 오직 \(x=a\;\;(a>2)\) 에서만 미분가능하지 않다. 정답 12
그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 \(\rm O(0,\;0),\;\;A(8,\;0),\;\; B(8,\;8),\;\;C(0,\;8)\) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 \(\rm OABC\) 와 한 변의 길이가 \(8\) 이고 네 변이 좌표축과 평행한 정사각형 \(\rm PQRS\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \((-1,\;-6)\) 에서 출발하여 포물선 \(y=-x^2 +5x\) 를 따라 움직이도록 정사각형 \(\rm PQRS\) 를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 \(\rm OABC\)가 겹치는 부분의 넓이의 최댓값을 \(\dfrac{q}{p}\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 527
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - 1}&{\left( {x < 1} \right)}\\{ - x + 2}&{\left( {x \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\displaystyle \int _{-1}^x (t-1)f(t) dt\]라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(x)\) 는 구간 \(1,\;2\) 에서 증가한다. ㄴ. \(g(x)\) 는 \(x=1\) 에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=k\) 가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\) 가 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ..