수악중독

그림과 같이 반지름의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 이고 \(\angle {\rm A}_1 {\rm O}{\rm B}_1 = 60 ^o\) 인 부채꼴 \(\rm A_1 O B_1\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1 ,\;O,\;B_1\) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\rm A_1 OB_1\) 의 무게중심을 \(\rm C_1\) 이라 할 때, 두 선분 \(\rm A_1 C_1 ,\;B_1 C_1\) 과 호 \(\rm A_1 B_1\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm C_1\) 을 지나는 원이 두 선분 \(\rm OA_1 ,\; OB_1\) 과 만나는 점을 각각 \(\rm A_2 , \; B_2\) 라 하자. 세 점 \(\r..

그림과 같이 중심이 \({\rm A}(1,\;0)\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 위의 점 \({\rm P}_n\) 과 \(x\) 축 위의 점 \({\rm Q}_n\) 은 다음 규칙을 만족한다. (가) 점 \({\rm P}_0\) 은 원점이고, 점 \({\rm P}_n\) 은 제 \(1\) 사분면의 점이다. (나) 호 \({\rm P}_{n-1}{\rm P}_n\) 의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(l_{n+1}=rl_n\) 이다. (다) 점 \({\rm Q}_n\) 은 점 \({\rm B}(0,\;2)\) 와 점 \({\rm P}_n\) 을 이은 직선이 \(x\) 축과 만나는 점이다. \({\rm Q}_2 (2,\;0)\) 이고 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} ..

넓이가 \(1,\;3,\;9,\;27,\; \cdots\) 인 등비수열을 이루는 정사각형들을 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다. 정삼각형의 외부와 정사각형의 내부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 왼쪽부터 차례로 \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots \) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{8 \left(a_1 +a_2 + \cdots + a_n \right )}{3^n}\) 의 값은? ① \(2-\sqrt{3}\) ② \(3-\sqrt{3}\) ③ \(4-\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{4-\sqrt{3}}{..

중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1,\;2,\;3,\;\cdots,\;2n\) 인 동심원이 있다. 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 내부의 \(1\) 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 \(1\) 인 원과 반지름의 길이가 \(2\) 인 원 사이의 \(2,\;3,\;4\) 사분면에도 검은색을 칠한 다. 반지름의 길이가 \(2\) 인 원과 반지름의 길이가 \(3\) 인 원 사이의 \(1\) 사분면에 검은색 을 칠하고, 반지름의 길이가 \(3\) 인 원과 반지름의 길이가 \(4\) 인 원 사이의 \(2,\;3,\;4\) 사분면에도 검은색을 칠한다.\[\vdots\] 반지름의 길이가 \(2n-2\) 인 원과 반지름의 길이가 \(2n-1\) 인 원 사이의 \(1\) 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 ..

그림과 같이 점 \(\rm A\) 를 꼭짓점으로 하고 선분 \(\rm BC\) 를 밑면의 지름으로 하며 \(\overline {\rm AB} =100,\; \overline {\rm BC}=50\) 인 직원뿔이 있다. 모선 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm Q_1\) 은 점 \(\rm B\) 에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 \(\rm AC\) 에 최단 거리로 이르는 점이고, 모선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm Q_2\) 는 점 \(\rm Q_1\) 에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 \(\rm AB\) 에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 \({\rm Q}_n\) 은 모선 \(\rm AB\) 또는 \(\rm AC\) 위의 점 \({\rm Q}_{n-1}\) 에서 원뿔의 옆면을 돌..

한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 두 선분 \(\rm AD,\; DC\) 의 중점을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하고, 두 선분 \(\rm AQ_1 ,\; CP_1\) 의 교점을 \(\rm D_1\) 이라 하자. 이때, 사각형 \(\rm DP_1 D_1 Q_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 선분 \(\rm BD_1\) 을 대각선으로 하는 정사각형을 \(\rm BC_1 D_1 A_1\) 이라 하자. 두 선분 \(\rm A_1 D_1 , \; D_1 C_1\) 의 중점을 각각 \(\rm P_2 ,\; Q_2\) 라 하고, 두 선분 \(\rm A_1 Q_2 ,\; C_1 P_2\) 의 교점을 \(\rm D_2\) 라 하자. 이때,..

그림과 같이 직각이등변삼각형 \(\rm ABC\) 에서 꼭짓점 \(\rm A\) 를 중심, \(\overline {\rm AB}\) 를 반지름으로 하는 원을 그렸을 떄, \(\overline {\rm AC}\) 와 만나는 점을 \(\rm A_1\), \(\overline {\rm AC} \bot \overline {\rm A_1 B_1}\) 이면서 \(\overline {\rm BC}\) 위에 있는 점을 \(\rm B_1\), 다시 꼭짓점 \(\rm B_1\) 을 중심, \(\overline {\rm A_1 B_1}\) 을 반지름으로 하는 원을 그렸을 때, \(\overline {\rm CB_1}\) 과 만나는 점을 \(\rm B_2\), \(\overline {\rm CB_1} \bot \overlin..

그림은 밑면의 반지름의 길이가 \(\sqrt{3}\) 이고 밑면과 모선 사이의 각도가 \(60^o\) 인 직원뿔이다. 구 \(\rm O_1\) 이 직원뿔에 내접하고, 구 \(\rm O_2\) 는 구 \(\rm O_1\) 에 외접하고 직원뿔의 옆면과 접한다. 이와 같은 방법으로 \(\rm O_3 ,\; O_4 ,\; O_5 ,\; \cdots\) 를 한없이 만들어 나갈 때, 구들의 부피의 합은? ① \(\dfrac{16}{13}\pi\) ② \(\dfrac{18}{13}\pi\) ③ \(\dfrac{20}{13}\pi\) ④ \(\dfrac{22}{13}\pi\) ⑤ \(\dfrac{14}{13}\pi\) 정답 ②

직사각형 중에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내고 남은 직사각형이 처음의 직사각형과 서로 닮음이 되는 것을 황금직사각형이라고 한다. 그림과 같이 긴 변의 길이가 \(1\) 인 황금직사각형 \(\rm R_1\) 에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm S_1\) 을 잘라내고 남은 직사각형을 \(\rm R_2\), 직사각형 \(\rm R_2\) 에서 정사각형 \(\rm S_2\) 를 잘라내고 남은 직사각형을 \(\rm R_3\) 이라고 하자. 이와 같은 방법으로 직사각형 \(\rm R_4 ,\; R_3 ,\; R_6 ,\; \cdots\) 을 한없이 만들어 간다. 직사각형 \({\rm R}_{\it n}\;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 의 둘레의 길이 \(l_n\..

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=2\) 를 지름으로 하는 반원 \(D_1\) 을 그리고, \(\angle \rm BAB_1 = \dfrac{\pi}{6}\) 가 되도록 반원 \(D_1\) 위의 점 \(\rm B_1\) 을 잡는다. \(\overline{\rm AB_1}\) 을 지름으로 하는 반원 \(D_2\) 를 그렸을 때, 반원 \(D_2\) 에서 반원 \(D_1\) 과의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. \(\angle \rm B_1 A B_2 = \dfrac{\pi}{6}\) 가 되도록 반원 \(D_2\) 위의 점 \(\rm B_2\) 를 잡아 \(\overline {\rm AB_2}\) 를 지름으로 하는 반원 \(D_3\) 를 그리고, \(\angle ..