수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

직사각형 중에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내고 남은 직사각형이 처음의 직사각형과 서로 닮음이 되는 것을 황금직사각형이라고 한다. 그림과 같이 긴 변의 길이가 $1$ 인 황금직사각형 $\rm R_1$ 에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형 $\rm S_1$ 을 잘라내고 남은 직사각형을 $\rm R_2$, 직사각형 $\rm R_2$ 에서 정사각형 $\rm S_2$ 를 잘라내고 남은 직사각형을 $\rm R_3$ 이라고 하자. 이와 같은 방법으로 직사각형 $\rm R_4 ,\; R_3 ,\; R_6 ,\; \cdots$ 을 한없이 만들어 간다. 직사각형 ${\rm R}_{\it n}\;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)$ 의 둘레의 길이 $l_n$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} ln = kl_1$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은?

 

① $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$                    ② $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$                    ③ $\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$
④ $3-\sqrt{5}$                     ⑤ $3+\sqrt{5}$

정답 ②