수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=2\) 를 지름으로 하는 반원 \(D_1\) 을 그리고, \(\angle \rm BAB_1 = \dfrac{\pi}{6}\) 가 되도록 반원 \(D_1\) 위의 점 \(\rm B_1\) 을 잡는다. \(\overline{\rm AB_1}\) 을 지름으로 하는 반원 \(D_2\) 를 그렸을 때, 반원 \(D_2\) 에서 반원 \(D_1\) 과의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. \(\angle \rm B_1 A B_2 = \dfrac{\pi}{6}\) 가 되도록 반원 \(D_2\) 위의 점 \(\rm B_2\) 를 잡아 \(\overline {\rm AB_2}\) 를 지름으로 하는 반원 \(D_3\) 를 그리고, \(\angle \rm B_2 AB_3 = \dfrac{\pi}{6}\) 가 되도록 반원 \(D_3\) 위의 점 \(\rm B_3\) 를 잡는다. 반원 \(D_3\) 와의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속해서 \(n\) 번째 얻은 도형의 넓이를 \(S_n\) 이라 하면, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n = \dfrac{b}{a} \left ( \dfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} \right ) \) 이다. 이때, \(a+b\) 의 값은? (단, \(a,\;b\) 는 서로소인 자연수이다.)

 

 ① \(7\)          ② \(8\)          ③ \(9\)          ④ \(10\)          ⑤ \(11\)

정답 ⑤