수악중독

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(O_1\) 에 외접하는 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 변 \(\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1,\; D_1A_1\) 의 중점을 각각 \(\rm E_1, \; F_1, \; G_1, \; H_1\) 이라 하자. 점 \(\rm B_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm B_1 F_1\) 을 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm B_1 F_1 E_1\) 의 호 \(\rm E_1 F_1\) 과 점 \(\rm C_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm C_1F_1\)를 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm C_1F_1G_1\) 의 호 \(\rm G_1F_1\) 과 원 \(O_1\) 의 호 \(\rm E_1 H_1 G_1..

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 \(\rm A_1(0,\;\sqrt{3}), \; B_1(-1,\;0),\; C_1(1,\;0)\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1, \;B_1,\;C_1\) 에 대하여 선분 \(\rm A_1C_1\) 을 \(4:1\) 로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_2, \;B_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm A_2B_2C_2\) 가 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_2\) 를 정한다. 또, 선분 \(\rm A_2C_2\) 를 \(4:1\)로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_3, \;B_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm A_3B_3C_3\) 이 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_3\) 를 정한다. 이..

두 수열 \(\{a_n\}, \;\{b_n\}\) 의 일반항이 각각 \[ a_n = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1}, \;\;\; b_n=\sum \limits_{k=1}^{n} \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{k-1}\] 이다. 좌표평면에서 중심이 \((a_n ,\; b_n)\) 이고 \(y\) 축에 접하는 원의 내부와 연립부등식 \(\left\{ {\begin{array}{ll}{y \le {b_n}}\\{2x + y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\) 이 나타내는 공통부분을 \(P_n\) 이라 하고, \(y\) 축에 대하여 \(P_n\) 과 대칭인 영역을 \(Q_n\) 이라 하자. \(P_n\) 의 넓이와 \(Q_n\)..

그림과 같이 길이가 \(8\) 인 선분 \(\rm AB\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 삼등분점 \(\rm A_1,\;B_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm A_1B_1\) 을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_1, \;Q_1\) 이라고 하자. 선분 \(\rm A_1B_1\) 의 삼등분점 \(\rm A_2, \;B_2\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm A_2B_2\) 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_2, \;Q_2\) 라고 하자. 선분 \(\rm A_2B_2\) 의 삼등분점 \(\rm A_3, \;B_3\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm A_3B_3\) 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(a\) 인 정사각형 \(\rm OB_1C_1A_0\) 이 있다 삼각형 \(\rm OA_1D_1\) 이 \(\angle \rm D_1OA_1=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_1C_1\), \(\rm A_0C_1\) 위에 각각 점 \(\rm A_1, \;D_1\) 을 잡고 변 \(\rm OA_1\) 의 길이를 \(l_1\) 이라 하자. 선분 \(\rm OA_1\) 을 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm OB_2C_2A_1\) 에서 삼각형 \(\rm OA_2D_2\) 가 \(\angle \rm D_2OA_2=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_2C_2\), \(\rm A_1C_2\) 위에 각각 점 \(\rm A_2..

그림과 같이 \(\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1\) 인 직사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 에서 선분 \(\rm A_1D_1\) 의 중점을 \(\rm M_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm A_1\), 반지름의 길이가 \(\rm A_1B_1\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 을 그리고, 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 의 호 \(\rm B_1M_1\) 이 선분 \(\rm A_1C_1\) 과 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하고, 중심이 \(..

아래와 같이 가로의 길이가 \(6\) 이고 세로의 길이가 \(8\) 인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 있는 합동인 \(4\) 개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 ..

아래 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(\rm A_1 (0.\;8)\) 을 이은 선분 \(\rm OA_1\) 을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_1 B_1\) 을 그린다. 점 \(\rm B_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_2\) 라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_2\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_2B_2\) 를 그린다. 점 \(\rm B_2\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_3\) 이라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_3\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_3B_3\) 을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 ..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 내부에 합동인 \(4\) 개의 직각삼각형의 넓이의 합과 정사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 의 넓이가 같도록 만들고, 정사각형 \(\rm A_2 B_2 C_2 D_2\) 내부에 같은 방법으로 정사각형 \(\rm A_3 B_3 C_3 D_3\) 를 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 만들어진 정사각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm C}_n {\rm D}_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은? ① \(2\) ② \(\dfrac{9}{4}\) ③ \(\dfrac{5}{2}\) ④ \(\..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(3\) 인 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 이 있다. 네 선분 \(\rm A_1B_1\), \( \rm B_1C_1\), \(\rm C_1D_1\), \( \rm D_1A_1\) 을 각각 \(1:2\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm E_1,\; F_1,\;G_1,\;H_1\) 이라 하고, 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 \(\rm A_1E_1\), \(\rm B_1F_1, \; C_1G_1, \;D_1H_1\) 을 각각 반지름으로 하는 \(4\) 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 \(R_1\) 이라 하자. 정사각형 \(\rm E_1F_1G_1H_1\) 과 도형 \(R_1\) 과의 교점 중 정사각..