수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 반지름의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 이고 \(\angle {\rm A}_1 {\rm O}{\rm B}_1 = 60 ^o\) 인 부채꼴 \(\rm A_1 O B_1\) 이 있다.
세 점 \(\rm A_1 ,\;O,\;B_1\) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\rm A_1 OB_1\) 의 무게중심을 \(\rm C_1\) 이라 할 때, 두 선분 \(\rm A_1 C_1 ,\;B_1 C_1\) 과 호 \(\rm A_1 B_1\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자.
점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm C_1\) 을 지나는 원이 두 선분 \(\rm OA_1 ,\; OB_1\) 과 만나는 점을 각각 \(\rm A_2 , \; B_2\) 라 하자. 세 점 \(\rm A_2 ,\; O,\;B_2\) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\rm A_2 OB_2\) 의 무게중심을 \(\rm C_2\) 라 할 때, 두 선 분 \(\rm A_2 C_2 ,\; B_2 C_2\) 와 호 \(\rm A_2 B_2\) 로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\) 라 하자.
점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm C_2\) 을 지나는 원이 두 선분 \(\rm OA_2 ,\; OB_2\) 과 만나는 점을 각각 \(\rm A_3 , \; B_3\) 라 하자. 세 점 \(\rm A_3 ,\; O,\;B_3\) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\rm A_3 OB_3\) 의 무게중심을 \(\rm C_3\) 라 할 때, 두 선 분 \(\rm A_3 C_3 ,\; B_3 C_3\) 와 호 \(\rm A_3 B_3\) 로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_3\) 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 도형의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

 

① \(2\pi - \sqrt{3}\)            ② \(2\pi - 2\sqrt{3}\)          ③ \(2\pi - 3\sqrt{3}\)          
④ \(3\pi - 3\sqrt{3}\)          ⑤ \(3\pi - 4\sqrt{3}\)      

정답 ④