수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

넓이가 \(1,\;3,\;9,\;27,\; \cdots\) 인 등비수열을 이루는 정사각형들을 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다.

 

 정삼각형의 외부와 정사각형의 내부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 왼쪽부터 차례로 \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots \) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{8 \left(a_1 +a_2 + \cdots + a_n \right )}{3^n}\) 의 값은?
 
① \(2-\sqrt{3}\)          ② \(3-\sqrt{3}\)          ③ \(4-\sqrt{3}\)          ④ \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\)          ⑤ \(\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}\) 

정답 ③