수악중독

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)-x-f(t)+t$$ 라 할 때, 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $h(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to -1} \{ h(t)-h(-1)\} = \lim \limits_{t \to 1} \{h(t)-h(1)\}=2$ (나) $\displaystyle \int_0^\alpha f(x) dx =\int_0^\alpha |f(x)| dx $ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 최솟값은 $-1$ 이다. (다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\dfrac{d}{dx} \displ..

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 $$\lim \limits_{x \to 1} f(x)=4-f(1)$$ 을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ② 함수 $f(x)$ 가 연속이므로 $\lim \limits_{x \to 1}f(x)=f(1)$ $f(1)=4-f(1)$ $2f(1)=4$ $\therefore f(1)=2$

다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \left (x^3+1 \right ) f(x)$$ 라 하자. $f(1)=2, \; f'(1)=3$ 일 때, $g'(1)$ 의 값은? ① $12$ ② $14$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$ 더보기 정답 ④ $g'(x)=3x^2f(x)+ \left (x^3+1 \right ) f'(x)$ $\therefore g'(1)=3f(1)+4f'(1)=3 \times 2 + 4 \times 3 = 18$

두 곡선 $y=2x^2-1, \; y=x^3-x^2+k$ 가 만나는 점의 개수가 $2$ 가 되록 하는 양수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③

양수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=kx(x-2)(x-3)$$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축이 원점 $\mathrm{O}$ 와 두 점 $\mathrm{P, \; Q \; \left ( \overline{OP} \lt \overline{OQ} \right )}$ 에서 만난다. 곡선 $y=f(x)$ 와 선분 $\mathrm{OP}$ 로 둘러싸인 영역을 $A$, 곡선 $y=f(x)$ 와 선분 $\mathrm{PQ}$ 로 둘러싸인 영역을 $B$ 라 하자. ($A$ 의 넓이) $-$ ($B$ 의 넓이) $=3$ 일 때, $k$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11..

그림과 같이 실수 $t \; (0 \lt t \lt 1)$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 중에서 직선 $y=2tx-1$ 과의 거리가 최소인 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 직선 $\mathrm{OP}$ 가 직선 $y=2tx-1$ 과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to 1-} \dfrac{\overline{\mathrm{PQ}}}{1-t}$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $\sqrt{6}$ ② $\sqrt{7}$ ③ $2\sqrt{2}$ ④ $3$ ⑤ $\sqrt{10}$ 더보기 정답 ③

두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=ax^3 + bx +a$ 는 $x=1$ 에서 극소이다. 함수 $f(x)$ 의 극솟값이 $-2$ 일 때, 함수 $f(x)$ 의 극댓값을 구하시오. 더보기 정답 $6$

정수 $a \; (a \ne 0)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=x^3-2ax^2$$ 이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$ 의 값의 곱이 $-12$ 가 되도록 하는 $a$ 에 대하여 $f'(10)$ 의 값을 구하시오. 함수 $f(x)$ 에 대하여 $$ \left \{ \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \right \} \times \left \{ \dfrac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} \right \}

함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=3x^2-4x+1$ 이고 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \displaystyle \int_0^x f(t) dt = 1$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①

함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 다음과 같다. $\lim \limits_{x \to -1+}f(x)+\lim \limits_{x \to 2-}f(x)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤