수악중독

$1$ 보다 큰 세 실수 $a, \; b, \; c$ 가 $$\log_a b = \dfrac{\log_b c}{2} = \dfrac{\log_c a}{3} = k\; \; (k는 \; 상수)$$ 를 만족시킬 때, $120k^3$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $20$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(a, \; \log_4b), \;\; {\rm B} \left ( 1, \; \log_8 \sqrt[4]{27} \right )$ 이 있다. 선분 $\rm AB$ 를 $2:1$ 로 외분하는 점이 곡선 $y=-\log_4(3-x)$ 위에 있고, 집합 $ \{ n \; | \; b

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{a_n} & (n \; 이 \; 홀수인 \; 경우) \\[10pt] 8a_n & (n\;이 \; 짝수인 \; 경우) \end{cases}$$ 이고, $a_{12} = \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_1 + a_4 $ 의 값은? ① $\dfrac{3}{4}$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $\dfrac{17}{4}$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 더보기 정답 ⑤

$n \ge 2$ 인 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $$y= \log_n x, \;\; y=- \log_n (x+3)+1$$ 이 만나는 점의 $x$ 좌표가 $1$ 보다 크고 $2$ 보다 작도록 하는 모든 $n$ 의 값의 합은? ① $30$ ② $35$ ③ $40$ ④ $45$ ⑤ $50$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=4, \; \overline{\rm AC}=5$ 이고 $\cos (\angle \rm BAC )= \dfrac{1}{8}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다 .선분 $\rm AC$ 위의 점 $\rm D$ 와 선분 $\rm BC$ 위의 점 $\rm E$ 에 대하여 $$\rm \angle BAC = \angle BDA = \angle BED$$ 일 때, 선분 $\rm DE$ 의 길이는? ① $\dfrac{7}{3}$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $\dfrac{8}{3}$ ④ $\dfrac{17}{6}$ ⑤ $3$ 더보기 정답 ③

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 구간 $(0, \; 1]$ 에서 $$f(x) = \begin{cases} 3 & (0

$-1 \le t \le 1$ 인 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$\left ( \sin \dfrac{\pi x}{2} -t \right ) \left ( \cos \dfrac{\pi x}{2}-t \right ) =0$$ 의 실근 중에서 집합 $\{ x \; | \; 0 \le x

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. (가) $x$ 에 대한 방정식 $\left (x^n - 64 \right ) f(x) = 0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다. (나) 함수 $f(x)$ 의 최솟값은 음의 정수이다. 더보기 정답 $24$

$\overline{\rm DA}=2 \overline{\rm AB}$, $\angle \rm DAB = \dfrac{2}{3}\pi$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원에 내접하는 사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 두 대각선 $\rm AC, \; BD$ 의 교점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm BD$ 를 $3:4$ 로 내분한다. 사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $13$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 세 함수 $$f(x)=\cos \pi x, \;\; g(x) = \sin \pi x, \;\; h(x) =ax+b$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le x \le 4$ 일 때, 방정식 $(f \circ h)(x)=(h \circ g) \left ( \dfrac{3}{2} \right )$ 의 서로 다른 실근의 개수는 홀수이다. (나) $0 \le x \le 4$ 일 때, 방정식 $(f \circ h)(x)=(h \circ g)(t)$ 의 서로 다른 모든 실근의 합이 $56$ 이 되도록 하는 실수 $t$ 가 존재한다. $\dfrac{a \times b}{\cos ^2 \pi t}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $686$