수악중독

양수 $a$ 와 $0$ 이 아닌 실수 $d$ 에 대하여 첫째항이 모두 $a$ 이고, 공차가 각각 $d, \; -2d$ 인 두 등차수열 $\{a_n\}$ 과 $\{ b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $|a_1|=|b_7|$ (나) $S_n = \sum \limits_{k=1}^n \left (|a_k|-|b_k| \right )$ 라 할 때, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $S_n \le 108$ 이고, $S_p=108$ 인 자연수 $p$ 가 존재한다. $S_n \ge 0$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값을 $m$ 이라 할 때, $a_m$ 의 값은? ① $46$ ② $50$ ③ $54$ ④ $58$ ⑤ $62$ 더보기 정답 ③

두 함수 $$f(x)=\left (\dfrac{1}{2} \right )^{x-a}, \quad g(x)=(x-1)(x-3)$$ 에 대하여 합성함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 라 하자. 함수 $h(x)$ 가 $0 \le x \le 5$ 에서 최솟값 $\dfrac{1}{4}$, 최댓값 $M$ 을 갖는다. $M$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $128$

$2$ 이상의 자연수 $n$ 과 상수 $k$ 에 대하여 $n^2-17n+19k$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=2}^{19} f(n)=19$ 를 만족시키는 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $3$

$\dfrac{12}{5} < k \le 4$ 인 상수 $k$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 수열 $\{a_n \}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $n$ 이 짝수이면 $a_n$ 은 $0 \le x \le 2$ 에서 직선 $y=-\dfrac{k}{2n}$ 와 곡선 $y=2 \sin \left (n\pi x+\dfrac{\pi}{2} \right ) + \left | k \sin^2(n\pi x) -(k-1) \right |$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. (나) $n$ 이 홀수이면 $a_n$ 은 $0 \le x \le 2$ 에서 직선 $y=\dfrac{k+1}{n}$ 과 곡선 $y=2 \sin \left (n \pi x + \dfrac{\pi}{2} \right ) + \left | k \..

닫힌구간 $[0, \; 12]$ 에서 정의된 두 함수 $$f(x)=\cos \dfrac{\pi x}{6}, \quad g(x)=-3 \cos \dfrac{\pi x}{6}-1$$ 이 있다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=k$ 가 만나는 두 점의 $x$ 좌표를 $\alpha_1, \; \alpha_2$ 라 할 때, $| \alpha_1 - \alpha_2|=8$ 이다. 곡선 $y=g(x)$ 와 직선 $y=k$ 가 만나는 두 점의 $x$ 좌표를 $\beta_1, \; \beta_2$ 라 할 때, $|\beta_1 - \beta_2 |$ 의 값은? (단, $k$ 는 $-1

함수 $f(x)=-(x-2)^2+k$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$ 의 개수가 $2$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? $\sqrt{3}^{f(n)}$ 의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 $-9$ 이다. ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm C, \; D$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점 $\rm O$ 에 대하여 두 선분 $\rm AD, \; CO$ 가 점 $\rm E$ 에서 만나고, $$\overline{\rm CE}=4, \quad \overline{\rm DE}=3\sqrt{2}, \quad \angle {\rm CEA} = \dfrac{3}{4} \pi$$ 이다. $\overline{\rm AC} \times \overline{\rm CD}$ 의 값은? ① $6 \sqrt{10}$ ② $10\sqrt{5}$ ③ $16\sqrt{2}$ ④ $12\sqrt{5}$ ⑤ $20\sqrt{2}$ 더보기 정답 ⑤

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $a_{4k} = r^k$ 이다. (단, $r$ 는 $0

그림과 같이 곡선 $y=2^x$ 위에 두 점 ${\rm P} \left (a, \; 2^a \right )$, ${\rm Q}\left (b, \; 2^b \right )$ 이 있다. 직선 $\rm PQ$ 의 기울기를 $m$ 이라 할 때, 점 $\rm P$ 를 지나며 기울기가 $-m$ 인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm Q$ 를 지나며 기울기가 $-m$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $$\overline{\rm AB}= 4 \overline{\rm PB}, \quad \overline{\rm CQ}=3 \overline{\rm AB}$$ 일 때, $90 \times (a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $ 0

모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$\left (a \sin ^2 x - 4 \right ) \cos x +4 \ge 0$$ 을 만족시키는 실수 $a$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $14$