수악중독

실수 $a, \; b, \; c$ 가 $$\begin{aligned} \log \dfrac{ab}{2} &=(\log a)(\log b), \\[10pt] \log \dfrac{bc}{2} &= (\log b)(\log c), \\[10pt] \log (ca) &= (\log c)(\log a) \end{aligned}$$ 를 만족시킬 때, $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \;c$ 는 모두 $10$ 보다 크다.) 더보기 정답 $250$

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{2k-1}=2^n$$ 을 만족시킬 때, $a_1 + a_5$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $146$

곡선 $y=x^3-x^2$ 위의 제 $1$ 사분면에 있는 점 $\rm A$ 에서 접선의 기울기가 $8$ 이다. 점 $(0, \; 2)$ 를 중심으로 하는 원 $S$ 가 있다. 두 점 $\rm B(0, \; 4)$ 와 원 $S$ 위의 점 $\rm X$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA$ 와 $\rm BX$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\overline{\rm BX} \sin\theta$ 의 최댓값이 $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ 가 되도록 하는 원 $S$ 의 반지름의 길이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$ ② $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{17\sqrt{5}}{20}$ ④ $\dfrac{9..

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x)=\sin (a\pi x)+2b \quad (0 \le x \le 1)$$ 이 있다. 집합 $\{ x | \log_2f(x) \text{는 정수}\}$ 의 원소의 개수가 $8$ 이 되도록 하는 서로 다른 모든 $a$ 값의 합은? ① $12$ ② $15$ ③ $18$ ④ $21$ ⑤ $24$ 더보기 정답 ①

좌표평면에서 네 점 $\rm A(0, \;0)$, $\rm B(1, \; 0)$, $\rm C(1, \; 1)$, $\rm D(0, \; 1)$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 집합 $X_n$ 은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $(p, \; q)$ 를 원소로 하는 집합이다. (가) 점 $(p, \; q)$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내부에 있다. (나) 정사각형 $\rm ABCD$ 의 변 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 점 $(p, \; q)$ 사이의 거리의 최솟값은 $\dfrac{1}{2^n}$ 이다. (다) $p=\dfrac{1}{2^k}$ 이고 $q=\dfrac{1}{2^m}$ 인 자연수 $k, \; m$ 이 존재한다. 집합 $X_n$ 의 원소의 개수를 $a_n$ 이라 할 때, $..

수열 $\{a_n\}$ 의 일반항이 $$a_n = \dfrac{\sqrt{9n^2-3n-2}+6n-1}{\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n-2}}$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{16} a_n$ 의 값은? ① $110$ ② $114$ ③ $118$ ④ $122$ ⑤ $126$ 더보기 정답 ②

집합 $A=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에서 $A$ 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 $f(x)$ 의 개수는? (가) $\log f(x)$ 는 일대일함수가 아니다. (나) $\log \{f(1)+f(2)+f(3)\}=2\log2 +\log 3$ (다) $\log f(4)+\log f(5) \le 1$ ① $134$ ② $140$ ③ $146$ ④ $152$ ⑤ $158$ 더보기 정답 ⑤

원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(a, \; b)$ 에 대하여 $\log_r |ab|$ 의 최댓값을 $f(r)$ 라 할 때, $f(64)$ 의 값은? (단, $r$ 는 $1$ 보다 큰 실수이고, $ab \ne 0$ 이다.) ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{6}$ 더보기 정답 ⑤

두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 $$a^2 +b^2 \le 13, \quad \cos \dfrac{(a-b)\pi}{2}=0$$ 을 만족시키는 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는? ① $16$ ② $20$ ③ $24$ ④ $28$ ⑤ $32$ 더보기 정답 ③

자연수 $k\; (k\ge 2)$ 에 대하여 집합 $$A=\{(a, \; b) | a, \; b \text{는 자연수}, \; 2 \le a \le k, \; \log_a b \le 2\}$$ 의 원소의 개수가 $54$ 일 때, 집합 $A$ 의 원소 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a+b+k$ 의 최댓값은? ① $27$ ② $29$ ③ $31$ ④ $33$ ⑤ $35$ 더보기 정답 ⑤