수악중독

함수 $f(x)=\dfrac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항이 $$a_n=f \left ( \dfrac{1}{n} \right ) + f \left ( \dfrac{2}{n} \right ) + f \left ( \dfrac{3}{n} \right ) + \cdots f \left ( \dfrac{n-1}{n} \right )+ f \left ( \dfrac{n}{n} \right )$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{20} a_n =p+q \sqrt{2}$ 이다. 정수 $p, \; q$ 에 대하여 $p+q$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $115$

공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. $\dfrac{S_7 - S_4}{S_3}=\dfrac{1}{9}$ 일 때, $\dfrac{a_5}{a_7}$ 의 값은? ① $1$          ② $\sqrt{3}$          ③ $3$          ④ $3\sqrt{3}$          ⑤ $9$ 더보기정답 ③

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{10} (2a_k+b_k+k)=60, \quad \sum \limits_{k=1}^{10} (a_k-2b_k+1)=10$$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{10} (a_k +b_k)$ 의 값은?  ① $1$          ② $3$          ③ $5$          ④ $7$          ⑤ $9$ 더보기정답 ② $\sum \limits_{k=1}^{10} a_k=A, \; \sum \limits_{k=1}^{10} b_k=B$ 라고 하면$\sum \limits_{k=1}^{10} (2a_k+b_k+k)=60 \quad \Rightarrow \quad 2A+B+\dfrac{10\..

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $|a_5|$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,\; m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? (가) $a_2=27, \; a_3a_4>0$(나) $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n a_k = 2|a_n|$ 이다. ① $224$          ② $232$          ③ $240$          ④ $248$          ⑤ $256$ 더보기정답 ①

공차가 $0$ 이 아닌 등차수열 $\{a_n\}$ 이 $$a_{12}=6, \quad |a_5|=|a_{13}|$$ 을 만족시킬 때, $a_{24}$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $25$

모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\dfrac{a_3 +a_4}{a_1 + a_2}=4, \quad a_2 a_4 = 1$$ 일 때, $a_6+a_7$ 의 값은? ① $16$          ② $18$          ③ $20$          ④ $22$          ⑤ $24$ 더보기정답 ⑤

공차가 $d \; (0 (가) $a_5$ 는 자연수이다.(나) 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $S_8 = \dfrac{68}{3}$ 이다. $a_{16}$ 의 값은? ① $\dfrac{19}{3}$          ② $\dfrac{77}{12}$          ③ $\dfrac{13}{2}$          ④ $\dfrac{79}{12}$          ⑤ $\dfrac{20}{3}$ 더보기정답 ⑤

첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n & \left (\dfrac{1}{2}a_n \text{ 이 자연수인 경우} \right ) \\[10pt] (a_n -1)^2 & \left (\dfrac{1}{2}a_n \text{ 이 자연수가 아닌 경우}\right ) \end{cases}$$ 를 만족시킬 때, $a_7=1$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $120$          ② $125$          ③ $130$          ④ $135$          ⑤ $140$ 더보기정답 ②

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{15}(3a_k+2)=45, \quad 2 \sum \limits_{k=1}^{15}a_k = 42+\sum \limits_{k=1}^{14} a_k$$ 일 때, $a_{15}$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $37$ $3 \sum \limits_{k=1}^{15}a_k+30=45$ 에서 $\sum \limits_{k=1}^{15}a_k = 5$ $2 \times 5 = 42 +  \sum \limits_{k=1}^{14}a_k$ 에서 $\sum \limits_{k=1}^{14}a_k=-32$ $\therefore a_{15}= \sum \limits_{k=1}^{15}a_k -  \sum \limits_{k=1}^{14}a_k=5..

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^5 (a_k +1)=9$ 이고 $a_6=4$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^6 a_k$ 의 값은? ① $6$          ② $7$          ③ $8$          ④ $9$          ⑤ $10$ 더보기정답 ③