시그마의 성질&자연수의 합_난이도 하 (2024년 사관학교 7번)

 

 

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{10} (2a_k+b_k+k)=60, \quad \sum \limits_{k=1}^{10} (a_k-2b_k+1)=10$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{10} (a_k +b_k)$ 의 값은? 

 

① $1$          ② $3$          ③ $5$          ④ $7$          ⑤ $9$

 

정답 ②

 

$\sum \limits_{k=1}^{10} a_k=A, \; \sum \limits_{k=1}^{10} b_k=B$ 라고 하면

$\sum \limits_{k=1}^{10} (2a_k+b_k+k)=60 \quad \Rightarrow \quad 2A+B+\dfrac{10\times 11}{2}=60 \quad \Rightarrow \quad 2A+B=5 \; \cdots \;$①

$\sum \limits_{k=1}^{10} (a_k-2b_k+1)=10 \quad \Rightarrow \quad A-2B+10=10 \quad \Rightarrow \quad A=2B \; \cdots \;$②

 

①, ②를 연립하면 $A=2, \; B=1$

$\therefore \sum \limits_{k=1}^{10} (a_k +b_k)=A+B=2+1=3$