역함수의 미분&합성함수의 미분_난이도 상 (2021년 7월 전국연합 고3 미적분 29번)

함수 $f(x)=x^3-x$ 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=ax^3+x^2+bx+1$  이 있다. 함수 $g(x)$ 의 역함수 $g^{-1}(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)= \begin{cases} \left ( f \circ g^{-1} \right )(x) & (x<0 \; \text{또는}\; x>1) \\[10pt] \dfrac{1}{\pi} \sin \pi x & (0 \le x \le 1) \end{cases}$$이라 하자. 함수 $h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $g(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.)

정답 $15$