수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 두 점 $\mathrm{D, \; E}$ 를 지름의 양 끝점으로 하고 두 선분 $\mathrm{AB, \; AC}$ 와 각각 점 $\mathrm{F, \; G}$ 에서 접하는 반원이 있다. 반원의 호 위의 점 $\mathrm{P}$ 중에서 $\mathrm{\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}}$ 의 값이 최소가 되는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 반원의 중심 $\mathrm{O}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{OP'}$ 이 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\..

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{9}=1 \; (a>0)$ 위의 점 $\mathrm{P}(2, \; a)$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? ① $-9\sqrt{3}$ ② $-9$ ③ $-3\sqrt{3}$ ④ $-3$ ⑤ $-\sqrt{3}$ 더보기 정답 ③

좌표평면 위의 점 $(2, \; 1)$ 을 지나고 벡터 $\overrightarrow{n}=(3, \; 2)$ 에 수직인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{16}{3}$ ② $\dfrac{17}{3}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{19}{3}$ ⑤ $\dfrac{20}{3}$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 모서리 $\mathrm{OA}$ 를 제외한 모든 모서리의 길이가 $6\sqrt{2}$ 인 사면체 $\mathrm{OABC}$ 가 있다. 정삼각형 $\mathrm{OBC}$ 에 내접하는 원의 평면 $\mathrm{ABC}$ 위로의 정사영의 넓이가 $3\pi$ 일 때, 모서리 $\mathrm{OA}$ 의 길이는? ① $2\sqrt{13}$ ② $3\sqrt{6}$ ③ $2\sqrt{14}$ ④ $\sqrt{58}$ ⑤ $2\sqrt{15}$ 더보기 정답 ②

좌표공간의 점 $\mathrm{A}(4, \; 3, \; 0)$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}(1, \; 2, \; a)$ 와 직선 $\mathrm{OA}$ 사이의 거리가 $3$ 일 때, $a^2$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ④

직선 $y=3x+5$ 가 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{2}=1$ 에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? ① $\sqrt{5}$ ② $2\sqrt{5}$ ③ $3\sqrt{5}$ ④ $4\sqrt{5}$ ⑤ $5\sqrt{5}$ 더보기 정답 ②

한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 내접원의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하자. 변 $\mathrm{BC}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 가 다음을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 도형의 길이는? (가) $\mathrm{\overrightarrow{OX}=2 \overrightarrow{OP}}$ (나) $\mathrm{\left | \overrightarrow{OP} \right | \le \left | \overrightarrow{BP} \right |}$ ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

점 $\mathrm{P}(-1, \; 2)$ 를 지나는 직선이 쌍곡선 $3x^2-4y^2=1$ 과 두 점 $\mathrm{Q, \; R}$ 에서 만나고 점 $\mathrm{P}$ 는 $\overline{\mathrm{QR}}$ 의 중점이다. 이 직선의 방정식의 기울기는? ① $-\dfrac{1}{8}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $-\dfrac{3}{8}$ ④ $-\dfrac{1}{2}$ ⑤ $-\dfrac{5}{8}$ 더보기 정답 ③

좌표평면 위의 점 $\mathrm{A} \left ( \sqrt{3}, \; 1 \right )$ 에서 원 $x^2+y^2=1$ 에 그은 접선 중 기울기가 양수인 직선을 $l$ 이라 하자. 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에 대하여 $\mathrm{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}=0$ 이 되는 점 $\mathrm{B}$ 를 $\mathrm{B}(\alpha, \; \beta)$ 라 할 때, $\alpha^2 + \beta^2$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{3}$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 $4$ 인 정삼각기둥 $\mathrm{ABC-DEF}$ 에서 두 선분 $\mathrm{AC, \; BC}$ 의 중점을 각각 $\mathrm{G, \; H}$ 라 하자. 두 평면 $\mathrm{GHE, \; DEF}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos^2 \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{19}$ ② $\dfrac{3}{19}$ ③ $\dfrac{5}{19}$ ④ $\dfrac{7}{19}$ ⑤ $\dfrac{9}{19}$ 더보기 정답 ②