수악중독

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c \gt 0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 과 점 $\mathrm{A}(0, \; 6)$ 을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 두 직선 $\mathrm{PF', \; AF}$ 가 만나는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $$\overline{\mathrm{PF}}:\overline{\mathrm{PF'}}=3:4, \quad \angle \mathrm{F'QF}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시킬 때, $b^2-a^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는..

좌표평면 위에 길이가 $6$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=27, \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=9, \quad \overline{\mathrm{CD}} \gt 3$$ 을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DP}}-..

공간에 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 가 $$\overline{\mathrm{AB}}=8, \quad \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 위에 있지 않은 구 위의 점 $\mathrm{D}$ 에서 평면 $\mathrm{ABC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $\mathrm{OC, \; OD}$ 가 서로 수직이다. (나) 두 직선 $\mathrm{AD, \; OH}$ 가 서로 수직이다. 삼각형 $\mathrm{DAH}$ ..

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 대하여 $$2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+p \overrightarrow{\mathrm{BC}}=q\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ 일 때, $p-q$ 의 값은? (단, $p$ 와 $q$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에서 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+k \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}+3k \overrightarrow{\mathrm{CD}} \right )=0$$ 일 때, 실수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 더보기 정답 ②

두 초점이 $\mathrm{F}(12, \; 0), \; \mathrm{F'}(-4, \; 0)$ 이고, 장축의 길이가 $24$ 인 타원 $C$ 가 있다. $\mathrm{\overline{F'F}=\overline{F'P}}$ 인 타원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 한 초점이 $\mathrm{F'}$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 점 $\mathrm{Q}$ 를 지날 때, $\overline{\mathrm{PF}}+a^2+b^2$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 양수이다.) ① $46$ ② $52$ ③ $58$ ④ $64$ ⑤ $70$ 더보기 정답 ④

포물선 $(y-2)^2=8(x+2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 점 $\mathrm{A}(0, \; 2)$ 에 대하여 $\mathrm{\overline{OP}+\overline{PA}}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P_0}$ 이라 하자. $\mathrm{\overline{OQ}+\overline{QA}=\overline{OP_0}+\overline{P_0A}}$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 점 $\mathrm{Q}$ 의 $y$ 좌표의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M^2+m^2$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보..

좌표평면의 네 점 $\mathrm{A(2, \; 6), \; B(6, \; 2), \; C(4, \; 4), \; D(8, \; 6)}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $\mathrm{X}$ 의 집합을 $S$ 라 하자. (가) $ \mathrm{ \left \{ \left ( \overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OD} \right ) \cdot \overrightarrow{OC} \right \} \times \left \{ \left | \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OC} \right | - 3 \right \} =0}$ (나) 두 벡터 $\mathrm{\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP}..

두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 두 쌍곡선 $$C_1:x^2 - \dfrac{y^2}{24}=1, \quad C_2 : \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{21}=1$$ 이 있다. 쌍곡선 $C_1$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{PF'}$ 이 쌍곡선 $C_2$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{PQ}+\overline{QF}, \; 2\overline{PF'}, \; \overline{PF}+\overline{PF'}}$ 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 $\mathrm{PQ}$ 의..

직선 $2x+y=0$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 $2x^2+y^2=3$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$ 를 만족시키고, $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 $0$ 이상인 모든 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 영역의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $13$