내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2022년 5월 교육청 고3 기하 30번)

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 두 점 $\mathrm{D, \; E}$ 를 지름의 양 끝점으로 하고 두 선분 $\mathrm{AB, \; AC}$ 와 각각 점 $\mathrm{F, \; G}$ 에서 접하는 반원이 있다. 반원의 호 위의 점 $\mathrm{P}$ 중에서 $\mathrm{\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}}$ 의 값이 최소가 되는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 반원의 중심 $\mathrm{O}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{OP'}$ 이 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\mathrm{\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{GA}}=k$ 일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. 

 

 

정답 $432$