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목록(고1) 수학 - 문제풀이 (669)
수악중독
등식 $$\dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i^2} + \dfrac{1}{i^3} - \dfrac{1}{i^4} + \cdots + \dfrac{(-1)^{n+1}}{i^n} = 1-i$$ 가 성립하도록 하는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ ) 정답 $25$
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2 + (m+1)x+2m-1=0$ 의 두 근이 정수가 되도록 하는 모든 정수 $m$ 의 값의 합은? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 정답 ①
정삼각형 $\rm ABC$ 에서 두 변 $\rm AB$ 와 $\rm AC$ 의 중점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 하자. 그림과 같이 점 $\rm P$ 는 반직선 $\rm MN$ 이 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원과 만나는 점이고 $\overline{\rm NP}=1$ 이다. $\overline{\rm MN}=x$ 라 할 때, $10 \left ( x^2 + \dfrac{1}{x^2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$
그림과 같이 크기가 다른 직사각형 모양의 색종이 $\rm A, \; B, \; C$ 가 각각 $5$ 장, $11$ 장, $8$ 장 있다.이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 $a+b\sqrt{3}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 자연수이다.) 정답 $24$
두 양수 $a, \; b\;\;(a>b)$ 에 대하여 그림과 같은 정육면체 $\rm P, \; Q, \; R, \; S, \; T$ 의 부피를 각각 $p, \; q, \; r, \; s, \; t$ 라 하자. $p=q+r+s+t$ 일 때, $a-b$ 의 값은? ① $\dfrac{2}{3}$ ② $\dfrac{3}{4}$ ③ $\dfrac{4}{5}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 정답 ⑤
$1$ 이 아닌 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 $$3587=15^3 + 15^2 -15+2=a \times b$$ 로 나타낼 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. 정답 $228$
최고차항의 계수가 양수인 다항식 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^3 = 4x^2f(x)+8x^2+6x+1$$ 을 만족시킬 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 다항식 $f(x)$ 를 $x$ 로 나눈 나머지는 $1$ 이다. ㄴ. 다항식 $f(x)$ 의 최고차항의 계수는 $4$ 이다. ㄷ. 다항식 $\{f(x)\}^3$ 을 $x^2-1$ 로 나눈 나머지는 $14x+13$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③
자연수 $n^4+n^2-2$ 가 $(n-1)(n-2)$ 의 배수가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $20$
삼차다항식 $P(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $(x-1)P(x-2)=(x-7)P(x)$(나) $P(x)$ 를 $x^2 -4x+2$ 로 나눈 나머지는 $2x-10$ 이다. $P(4)$ 의 값은? ① $-6$ ② $-3$ ③ $0$ ④ $3$ ⑤ $6$ 정답 ①