수악중독

$x$ 에 대한 연립이차부등식 $$\begin{cases} x^2 -10x +21 \le 0 \\ x^2 -2(n-1)x+n^2-2n \ge 0 \end{cases}$$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $30$

그림과 같이 원의 중심 ${\rm C}(a, \; b)$ 가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 $r$ 이며 원점 $\rm O$ 를 지나는 원이 있다. 원과 $x$ 축, $y$ 축이 만나는 점 중 $\rm O$ 가 아닌 점을 각각 $\rm A, \; B$라 하자. 네 점 $\rm O, \; A, \; B, \; C$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b+r^2$ 의 값을 구하시오. (가) $\overline{\rm OB} - \overline{\rm OA}=4$ (나) 두 점 $\rm O, \; C$ 를 지나는 직선의 방정식은 $y=3x$ 이다. 더보기 정답 $14$

다항식 $P(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차다항식 $Q(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{Q(x+1)\}^2+\{Q(x)\}^2= \left (x^2 -x \right ) P(x)$$ 를 만족시킨다. $P(x)$ 를 $Q(x)$ 로 나눈 나머지를 $R(x)$ 라 할 때, $R(3)$ 의 값을 구하시오. (단, 다항식 $Q(x)$ 의 계수는 실수이다.) 더보기정답 $54$

$t \ge 0$ 인 실수 $t$ 에 대하여 $t \le x \le t+3$ 에서 이차함수 $f(x)=x^2-4tx+10t$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 $g(t)$ 라 하자. $t$ 에 대한 방정식 $g(t)=-4t+a$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 범위는 $p

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=a(x-2)(x-b)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값은? (가) $f(0)=6$ (나) $x$ 의 값의 범위가 $x>2$ 일 때, $f(x)>0$ 이다. ① $18$ ② $20$ ③ $22$ ④ $24$ ⑤ $26$ 더보기 정답 ①

$x$ 에 대한 삼차방정식 $x^3+(k-1)x^2-k=0$ 의 한 허근을 $z$ 라 할 때, $z+\overline{z}=-2$ 이다. 실수 $k$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 이차함수 $y=ax^2 \; (a>0)$ 의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 이 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 만난다. 선분 $\rm PQ$ 의 중점 $\rm M$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 선분 $\rm MH$ 의 길이가 $1$ 일 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③

이차항의 계수가 $1$인 이차다항식 $P(x)$ 와 일차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 $P(x+1)-Q(x+1)$ 은 $x+1$ 로 나누어 떨어진다. (나) 방정식 $P(x)-Q(x)=0$ 은 중근을 갖는다. 다항식 $P(x)+Q(x)$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지가 $12$ 일 때, $P(2)$ 의 값은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax \; (a>0)$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $y=ax$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 다음은 점 ${\rm D}(0, \; -1)$ 에 대하여 두 삼각형 $\rm DAB$ 와 $\rm DCO$ 의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 할 때, $\dfrac{S_2}{S_1}=2$ 를 만족시키는 상수 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax$ 가 만나는 점 $\rm A$ 의 좌표는 $${\rm A} \left ..

좌표평면 위에 점 ${\rm A}(0, \; 1)$ 이 있다. 이차함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P} \left ( t, \; \dfrac{t^2}{4} \right )\; (t>0)$ 을 지나고 기울기가 $\dfrac{t}{2}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=2$ 일 때, 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $1$ 이다. ㄴ. 두 직선 $\rm PQ$ 와 $\rm AQ$ 는 서로 수직이다. ㄷ. 선분 $\rm QA$ 를 $3:2$ 로 외분하는 점 $\rm R$ 가 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점을 때, 삼각형 $\rm RQP$ 의 넓이는 $ 6\sqrt{3}$ 이..