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목록(고1) 수학 - 문제풀이 (669)
수악중독
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=6, \; \overline{\rm BC}=8$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 변 $\rm BC$ 의 중점 $\rm M$ 과 변 $\rm AC$ 의 중점 $\rm N$ 에 대하여 두 선분 $\rm AM, \; BN$ 이 점 $\rm P$ 에서 서로 수직으로 만날 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $3 \overline{\rm AP} = 2 \overline{\rm AM}$ ㄴ. $\overline{\rm BN} = \sqrt{21}$ ㄷ. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $4\sqrt{35}$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 이차함수 $y=ax^2 \;(a>0)$ 의 그래프 위의 두 점 ${\rm A}(p, \; 3)$ , ${\rm B}(q, \; 3)$ 이 있다. 두 점 ${\rm C}(-1, \; -1)$ , ${\rm D}(1, \; -1)$ 에 대하여 사각형 $\rm ACDB$ 의 넓이가 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $p
그림과 같이 $\angle \rm BCA=90^{\rm o}$, $\overline{\rm BC}=30$, $\overline{\rm AC}=16$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 변 $\rm AB$ 의 중점 $\rm M$ 과 변 $\rm BC$ 의 중점 $\rm N$ 에 대하여 선분 $\rm MN$ 의 연장선 위에 $\overline{\rm ND}=9$ 가 되도록 점 $\rm D$ 를 잡는다. $\angle {\rm ADC}=x$ 일 때, $\sin x = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\rm MD} >\overline{\rm ND}$ 이고 $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $25$
좌표평면에서 꼭짓점이 점 $\rm A$ 로 일치하는 두 이차함수 $$\begin{aligned} y &= -x^2+2x, \\[10pt] y &= ax^2+bx+c \;\; (a>0) \end{aligned}$$ 의 그래프가 있다. 함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$ 라 하자. 두 점 $\rm A, \; C$ 를 지나는 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm D$ 라 할 때, 삼각형 $\rm BDC$ 의 넓이가 $12$ 이다. $2a-b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \;c..
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=25$, $\overline{\rm BC}=30$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm A$ 에서 변 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm D$ 라 하고, 점 $\rm B$ 에서 변 $\rm AC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm E$ 라 하자. 선분 $\rm DE$ 를 지름으로 하는 원이 변 $\rm BC$ 와 만나는 점 중 $\rm D$ 가 아닌 점을 $\rm F$, 변 $\rm AC$ 와 만나는 점 중 $\rm E$ 가 아닌 점을 $\rm G$ 라 하자. 삼각형 $\rm GFC$ 의 둘레의 길이가 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 ..
다항식 $P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ 에 대하여 $\left \{ P \left ( x^5 \right ) \right \}^2 + P \left ( x^{15} \right ) +1$ 을 $P(x)$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. 더보기 정답 $31$
전체집합 $U=\{x \; | \; x$ 는 $20$ 이하의 자연수 $\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $n(A)=n(B)=8, \; n(A \cap B)=1$ (나) 집합 $A$ 의 임의의 서로 다른 두 원소의 합은 $9$ 의 배수가 아니다. (다) 집합 $B$ 의 임의의 서로 다른 두 원소의 합은 $10$ 의 배수가 아니다. 집합 $A$ 의 모든 원소의 합을 $S(A)$, 집합 $B$ 의 모든 원소의 합을 $S(B)$ 라 할 때, $S(A)-S(B)$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $63$
두 정수 $m, \; n$ 에 대하여 이차함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $0$ 이다. (나) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프는 두 점 $(m, \;0)$ , $(m+4, \; 32n)$ 에서 만난다. (다) $0 \le a \le 4$ 인 정수 $a$ 에 대하여 정수 $b$ 가 부등식 $g(m+a) \le b \le f(m+a)$ 를 만족시킬 때, $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는 $45$ 이다. 방정식 $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2=0$ 을 만족시키는 실근 중 최댓값과 최솟값의 합이 $8$ 일 때, $f(5) \times g(5)$ 의 값을 구하..
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}
그림은 이차함수 $f(x)=-x^2+11x-10$ 의 그래프와 직선 $y=-x+10$ 을 나타낸 것이다. 직선 $y=-x+10$ 위의 한 점 ${\rm A}(t, \; -t+10)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm B$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$, 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선과 점 $\rm C$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의..