유리함수의 그래프&평행이동_난이도 상 (2021년 3월 전국연합 고2 30번)

함수 $f(x)=\dfrac{bx}{x-a} \; (a>0, b \ne 0)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x<a) \\ f(x+2a)+a & (x \ge a) \end{cases}$$ 라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 의 교점의 개수를 $h(t)$ 라 하면, 상수 $k$ 에 대하여 $$\{ t \; | \; h(t)=1\} = \{ t \; |  -9 \le t \le -8\} \cup \{ t \; |\; t \ge k\}$$ 이다. $a \times b \times g(-k)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.)

 

정답 $192$