수악중독

좌표평면에서 꼭짓점이 점 $\rm A$ 로 일치하는 두 이차함수 $$\begin{aligned} y &= -x^2+2x, \\[10pt] y &= ax^2+bx+c \;\; (a>0) \end{aligned}$$ 의 그래프가 있다. 함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$ 라 하자. 두 점 $\rm A, \; C$ 를 지나는 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm D$ 라 할 때, 삼각형 $\rm BDC$ 의 넓이가 $12$ 이다. $2a-b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \;c..

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=25$, $\overline{\rm BC}=30$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm A$ 에서 변 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm D$ 라 하고, 점 $\rm B$ 에서 변 $\rm AC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm E$ 라 하자. 선분 $\rm DE$ 를 지름으로 하는 원이 변 $\rm BC$ 와 만나는 점 중 $\rm D$ 가 아닌 점을 $\rm F$, 변 $\rm AC$ 와 만나는 점 중 $\rm E$ 가 아닌 점을 $\rm G$ 라 하자. 삼각형 $\rm GFC$ 의 둘레의 길이가 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 ..

다항식 $P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ 에 대하여 $\left \{ P \left ( x^5 \right ) \right \}^2 + P \left ( x^{15} \right ) +1$ 을 $P(x)$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. 더보기 정답 $31$

전체집합 $U=\{x \; | \; x$ 는 $20$ 이하의 자연수 $\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $n(A)=n(B)=8, \; n(A \cap B)=1$ (나) 집합 $A$ 의 임의의 서로 다른 두 원소의 합은 $9$ 의 배수가 아니다. (다) 집합 $B$ 의 임의의 서로 다른 두 원소의 합은 $10$ 의 배수가 아니다. 집합 $A$ 의 모든 원소의 합을 $S(A)$, 집합 $B$ 의 모든 원소의 합을 $S(B)$ 라 할 때, $S(A)-S(B)$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $63$

두 정수 $m, \; n$ 에 대하여 이차함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $0$ 이다. (나) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프는 두 점 $(m, \;0)$ , $(m+4, \; 32n)$ 에서 만난다. (다) $0 \le a \le 4$ 인 정수 $a$ 에 대하여 정수 $b$ 가 부등식 $g(m+a) \le b \le f(m+a)$ 를 만족시킬 때, $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는 $45$ 이다. 방정식 $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2=0$ 을 만족시키는 실근 중 최댓값과 최솟값의 합이 $8$ 일 때, $f(5) \times g(5)$ 의 값을 구하..

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}

그림은 이차함수 $f(x)=-x^2+11x-10$ 의 그래프와 직선 $y=-x+10$ 을 나타낸 것이다. 직선 $y=-x+10$ 위의 한 점 ${\rm A}(t, \; -t+10)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm B$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$, 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선과 점 $\rm C$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의..

그림과 같이 이차함수 ​ 의 그래프와 직선 ​ 가 만나는 두 점을 각각 ​ 라 하고, 점 ​ 와 ​ 에서 ​ 축에 내린 수선의 발을 각각 ​ 라 하자. 삼각형 ​ 의 넓이를 ​, 삼각형 ​ 의 넓이를 ​ 라 할 때, ​ 을 만족시키는 양수 ​ 의 값을 구하시오. (단, ​ 는 원점이고, 두 점 ​ 는 각각 제 ​ 사분면과 제 ​ 사분면 위에 있다.) 더보기 정답 $13$

$50$ 이하의 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $\left \{ i^n + \left ( \dfrac{1}{i} \right )^{2n}\right \}^m$ 의 값이 음의 실수가 되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 더보기 정답 $150$

그림과 같이 합동인 $9$ 개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.빨간색과 파란색을 포함하여 총 $9$ 가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다. (가) 주어진 $9$ 가지의 색을 모두 사용하여 칠한다. (나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다. (다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다. 색칠판을 칠하는 경우의 수는 $k \times 7!$ 이다. $k$ 의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 정답 $8$