수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차다항식 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(0)$ 의 값은? (가) 다항식 $f(x+3)-f(x)$ 는 $(x-1)(x+2)$ 로 나누어 떨어진다. (나) 다항식 $f(x)$ 를 $x-2$ 로 나누었을 때의 나머지는 $-3$ 이다. ① $13$ ② $14$ ③ $15$ ④ $16$ ⑤ $17$ 더보기 정답 ①

좌표평면 위에 세 점 $\rm A(2, \; 3), \; B(7, \; 1), \; C(4, \; 5)$ 가 있다. 직선 $\rm AB$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 점 $\rm D$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 와 평행한 직선이 직선 $\rm AC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 와 삼각형 $\rm ADE$ 의 넓이의 비가 $4:1$ 이 되도록 하는 모든 점 $\rm D$ 의 $y$ 좌표의 곱은? (단, 점 $\rm D$ 는 점 $\rm A$ 도 아니고 점 $\rm B$ 도 아니다.) ① $8$ ② $\dfrac{17}{2}$ ③ $9$ ④ $\dfrac{19}{2}$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

양수 $k$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(k, \; 0)$, ${\rm B}(0, \; k)$ 가 있다. 삼각형 $\rm OAB$ 의 내부에 있으며 $\angle \rm AOP = \angle \rm BAP$ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 에 대하여 점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표의 최댓값을 $M(k)$ 라 하자. 다음은 $M(k)$ 를 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $\angle \rm AOP 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 그러므로 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $\rm AB$ 와 점 $\rm A$ 에서 접하는 원을 $C$ 라 할 때, 삼각형 $\rm OAB$ 의 내부에 있..

두 실수 $a, \; b$ 와 두 함수 $$\begin{aligned} f(x) &= -x^2-2x+1, \\ g(x) &= x^2-2x-1 \end{aligned}$$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & (x

사차방정식 $\left (x^2+kx+2 \right ) \left ( x^2 +kx+6 \right ) +3=0$ 이 실근과 허근을 모두 갖도록 하는 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $4$

집합 $X=\{-2, \; -1, \; 0, \; 1, \; 2\}$ 에 대하여 함수 $f:X \to X$ 가 역함수가 존재하고 다음 조건을 만족시킨다. (가) $(f \circ f)(-1)+f^{-1}(-2) = 4$ (나) $k=0, \; 1$ 일 때, $f(k) \times f(k-2) \le 0$ 이다. $6f(0) + 5f(1) +2f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$

전체집합 $U=\{1, \; 2, \; 4, \; 8, \; 16, \; 32\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 $A \cup B^C$ 의 모든 원소의 합은 집합 $B-A$ 의 모든 원소의 합의 $6$ 배이다. (나) $n(A \cup B)=5$ 집합 $A$ 의 모든 원소의 합의 최솟값을 구하시오. (단, $2 \le n(B-A) \le 4$) 더보기 정답 $22$

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 $a$ 인 정사각뿔 $\rm O-ABCD$ 가 있다. 네 선분 $\rm OA, \; OB, \; OC, \; OD$ 위의 네 점 $\rm E, \; F, \; G, \; H$ 를 $\overline{\rm OE}=\overline{\rm OF}=\overline{\rm OG}=\overline{\rm OH}=b$ 가 되도록 잡는다. 두 정사각뿔 $\rm O-ABCD$, $\rm O-EFGH$ 의 부피의 합이 $2\sqrt{2}$ 이고 선분 $\rm AF$ 의 길이가 $2$ 일 때, 사각형 $\rm ABFE$ 의 넓이를 $S$ 라 하자. $32 \times S^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 $a>b>0$ 인 상수이다.) 더보기 정답 $126$

두 양수 $a, \; m$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$\begin{aligned} f(x) &= ax^2, \\g(x) &=mx+4a \end{aligned}$$ 라 하자. 그림과 같이 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=g(x)$ 가 만나는 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하고 원점 $\rm O$ 를 지나는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 와 곡선 $y=f(x)$ 는 서로 다른 네 점에서 만나고, 원 $C$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 만나는 네 점 중 $\rm O, \; A, \; B$ 가 아닌 점을 ${\rm P}(k, \; f(k))$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 삼각형 $\rm AOB$ 넓이의 $5$배..

중심이 점 $(3, \; 2)$ 이고 반지름의 길이가 $\sqrt{5}$ 인 원 위의 점과 직선 $2x-y+8=0$ 사이의 거리의 최솟값은? ① $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$ ② $\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$ ④ $2\sqrt{5}$ ⑤ $\dfrac{11\sqrt{5}}{5}$ 더보기 정답 ①