수악중독

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha, \; \beta$ 이고, 이차방정식 $x^2+3ax+3b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha+2, \; \beta+2$ 이다. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (가) $\alpha^n + \beta^n >0$ (나) $\alpha^n + \beta^n = \alpha^{n+1}+\beta^{n+1}$ 더보기 정답 $6$

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 일치한다. 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$ 를 갖고, 함수 $h(x)$ 는 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \beta) \\ g(x) & (\alpha \le x \le \beta) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=h(\beta)$ 는 서로 다른 세 실근을 갖고, 세 실근의 합은 $-4$ 이다. (나) 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 중에서 $y$ 좌표가 음의 정수인 점의 개수는 ..

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-2kx-k+20=0$ 이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta$ 를 가질 때, $\alpha \beta >0$ 을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 개수는? ① $14$ ② $15$ ③ $16$ ④ $17$ ⑤ $18$ 더보기 정답 ②

이차다항식 $P(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $P(-1)$ 의 값은? (가) 부등식 $P(x) \ge -2x-3$ 의 해는 $0 \le x \le 1$ 이다. (나) 방정식 $P(x)=-3x-2$ 는 중근을 가진다. ① $-3$ ② $-4$ ③ $-5$ ④ $-6$ ⑤ $-7$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 변 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm P$ 라 하고, 선분 $\rm AP$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm PQ$ 의 길이를 $x$ 라 하자. $\overline{\rm AQ}^2 + \overline{\rm BQ}^2 + \overline{\rm CQ}^2$ 은 $x=a$ 에서 최솟값 $m$ 을 가진다. $\dfrac{m}{a}$ 의 값은? (단, $0

$x$ 에 대한 다항식 $x^3+x^2+ax+b$ 가 $(x-1)^2$ 으로 나누어 떨어질 때의 몫을 $Q(x)$ 라 하자. 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $Q(ab)$ 의 값은? ① $-15$ ② $-14$ ③ $-13$ ④ $-12$ ⑤ $-11$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 빗변의 길이가 $c$ 이고 둘레의 길이가 $10$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 다음은 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 빗변의 길이 $c$ 의 범위를 구하는 과정이다. $\overline{\rm BC}=a, \; \overline{\rm CA}=b$ 라 하면 삼각형 $\rm ABC$ 의 둘레의 길이가 $10$ 이고 $\overline{\rm AB}=c$ 이므로 $$a+b=\boxed{ (가) } \cdots\cdots (1)$$ 이다. 삼각형 $\rm ABC$ 가 직각삼각형이므로 $a^2+b^2=c^2$ 에서 $$(a+b)^2-2ab=c^2 \cdots \cdots (2)$$이다. (1)을 (2)에 대입하면 $ab=\boxed{ (나) }$ 이다. $a, \; b$ 를 두 실근으..

이차함수 $y=x^2 -3x+1$ 의 그래프와 직선 $y=x+2$ 로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ⑤

모든 실수 $x$ 에 대하여 다항식 $P(x)$ 가 $$\{P(x)+2\}^2=(x-a)(x-2a)+4$$를 만족시킬 때, 모든 $P(1)$ 의 값의 합은? (단, $a$ 는 실수이다.) ① $-9$ ② $-8$ ③ $-7$ ④ $-6$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ②

$1\le x \le 2$ 에서 이차함수 $f(x)=(x-a)^2+b$ 의 최솟값이 $5$ 일 때, 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=\dfrac{3}{2}$ 일 때, $b=5$ 이다. ㄴ. $a \le 1$ 일 때, $b=-a^2+2a+4$ 이다. ㄷ. $a+b$ 의 최댓값은 $\dfrac{29}{4}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤