수악중독

$x$ 에 대한 사차방정식 $x^4-(2a-9)x^2+4=0$ 이 서로 다른 네 실근 $\alpha, \; \beta, \; \gamma, \; \delta \; (\alpha < \beta

$100$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여 $$(1-i)^{2n} = 2^n i$$ 를 만족시키는 모든 $n$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 더보기 정답 $25$

$x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} x^2 - \left (a^2-3 \right ) x -3a^2 0 & \end{cases}$$을 만족시키는 정수 $x$ 가 존재하지 않기 위한 실수 $a$ 의 최댓값을 $M$ 이라 하자. $M^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>2$) 더보기 정답 $10$

삼차다항식 $P(x)$ 와 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $P(x)Q(x)$ 는 $\left (x^2-3x+3 \right ) (x-1)$ 로 나누어 떨어진다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $x^3-10x+13 - P(x)=\{Q(x)\}^2$ 이다. $Q(0)

두 이차함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(0)$, $g(x) \le g(0)$ 이다. (나) $f(0)$ 은 정수이고, $g(0)-f(0)=4$ 이다. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)+p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수와 $x$ 에 대한 방정식 $g(x)-p=k$ 의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수가 $1$ 일 때, 실수 $p$ 의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$ 이라 하자. $m+10M$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $31$

집합 $x=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$에 대하여 $X$에서 $X$로의 함수 $f$의 역함수가 존재하고 $$f(1)+2f(3)=12, \quad f^{-1}(1)-f^{-1}(3)=2$$일 때, $f(4)+f^{-1}(4)$의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ②

연립부등식 $$\begin{cases} |x-k| \le 5 & \\ x^2-x-12>0 &\end{cases}$$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합이 $7$이 되도록 하는 정수 $k$의 값은? ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ④

삼차방정식 $x^3-x^2-kx+k=0$의 세 근을 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$라 하자. $\alpha, \; \beta$ 중 실수는 하나뿐이고 $\alpha^2=-2\beta$일 때, $\beta^2+\gamma^2$의 값은? (단, $k$는 $0$이 아닌 실수이다.) ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ⑤

실수 $x$에 대하여 두 조건 $$\begin{aligned} &p : x^2+2ax+1 \ge 0, \\ &q:x^2+2b+9 \le 0\end{aligned}$$이 있다. 다음 두 문장이 모두 참인 명제가 되도록 하는 정수 $a, \; b$의 순서쌍 $(a, \; b)$의 개수는? - 모든 실수 $x$에 대하여 $p$이다. - $p$는 $\sim q$이기 위한 충분조건이다. ① $15$ ② $18$ ③ $21$ ④ $24$ ⑤ $27$ 더보기 정답 ①

함수 $f(x)=\dfrac{a}{x}+b \; (a \ne 0)$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 $y=|f(x)|$는 직선 $y=2$와 한 점에서만 만난다. (나) $f^{-1}(2)=f(2)-1$ $f(8)$의 값은? (단, $a,\; b$는 상수이다.) ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ①