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목록2024/06 (95)
수악중독
시각 $t=0$ 일 때 워점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $$v(t)=\begin{cases} -t^2+t+2 & (0 \le t \le 3) \\ k(t-3)-4 & (t>3) \end{cases}$$ 이다. 출발한 후 점 $\mathrm{P}$ 의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 $\mathrm{P}$ 의 위치가 $1$ 일 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $16$
$5$ 이하의 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 열린구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 정의된 함수 $y=a \sin x +b$ 의 그래프가 직선 $x=\pi$ 와 만나는 점의 집합을 $A$ 라 하고, 두 직선 $y=1$, $y=3$ 과 만나는 점의 집합을 각각 $B, \; C$ 라 하자. $n(A \cup B \cup C)=3$ 이 되도록 하는 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M \times m$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $24$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(a) \le 0$ 인 실수 $a$ 의 최댓값은 $2$ 이다.(나) 집합 $\{x | f(x)=k\}$ 의 원소의 개수가 $3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값은 $\dfrac{8}{3}$ 이다. $f(0)=0, \; f'(1)=0$ 일 때, $f(3)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $15$
수열 $\{a_n\}$ 은 $$a_2 = -a_1$$ 이고, $n\ge 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n -\sqrt{n} \times a_{\sqrt{n}} & \left ( \sqrt{n} \text{ 이 자연수이고 } a_n>0 \text{ 인 경우}\right ) \\ a_n + 1 & (\text{그 외의 경우}) \end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_{15}=1$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 곱을 구하시오. 더보기정답 $231$
두 사건 $A, \; B$ 는 서로 배반사건이고 $$\mathrm{P}\left (A^C \right ) = \dfrac{5}{6}, \quad \mathrm{P}(A \cup B)=\dfrac{3}{4}$$ 일 때, $\mathrm{P} \left (B^C \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{8}$ ② $\dfrac{5}{12}$ ③ $\dfrac{11}{24}$ ④ $\dfrac{1}{2}$ ⑤ $\dfrac{13}{24}$ 더보기정답 ②
다항식 $\left (x^2-2 \right )^5$ 의 전개식에서 $x^6$ 의 계수는? ① $-50$ ② $-20$ ③ $10$ ④ $40$ ⑤ $70$ 더보기정답 ④
문자 $a, \; b, \; c, \; d$ 중에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 문자열 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 문자 $a$ 가 한 개만 포함되거나 문자 $b$ 가 한 개만 포함된 문자열인 선택될 확률은? ① $\dfrac{5}{8}$ ② $\dfrac{41}{64}$ ③ $\dfrac{21}{32}$ ④ $\dfrac{43}{64}$ ⑤ $\dfrac{11}{16}$ 더보기정답 ③
$1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$ 개의 의자가 있다. 이 $6$ 개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$ 개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 $11$ 이 되지 않도록 배열하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $72$ ② $78$ ③ $84$ ④ $90$ ⑤ $96$ 더보기정답 ①
탁자 위에 놓인 $4$ 개의 동전에 대하여 다음 시행을 한다. $4$ 개의 동전 중 임의로 한 개의 동전을 택하여 한 번 뒤집는다. 처음에 $3$ 개의 동전은 앞면이 보이도록, $1$ 개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 위의 시행을 $5$ 번 반복한 후 $4$ 개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 때, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? ① $\dfrac{17}{32}$ ② $\dfrac{35}{64}$ ③ $\dfrac{9}{16}$ ④ $\dfrac{37}{64}$ ⑤ $\dfrac{19}{32}$ 더보기정답 ①