수악중독

한 변의 길이가 \(4\) 인 정육면체가 있다. [그림 1]은 이 정육면체의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. [그림 2]는 [그림 1]의 정육면체들의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. 이와 같은 시행을 계속해 나갈 때, \(5\) 회 시행 후 분리된 모든 정육면체들의 겉넓이의 합은? ① \(3 \times 2^{10}\) ② \(3 \times 2^{12}\) ③ \(3 \times 2^{15}\) ④ \(3 \times 2^{17}\) ⑤ \(3 \times 2^{20}\) 정답 ①

그림과 같이 반지름의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 이고 \(\angle {\rm A}_1 {\rm O}{\rm B}_1 = 60 ^o\) 인 부채꼴 \(\rm A_1 O B_1\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1 ,\;O,\;B_1\) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\rm A_1 OB_1\) 의 무게중심을 \(\rm C_1\) 이라 할 때, 두 선분 \(\rm A_1 C_1 ,\;B_1 C_1\) 과 호 \(\rm A_1 B_1\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm C_1\) 을 지나는 원이 두 선분 \(\rm OA_1 ,\; OB_1\) 과 만나는 점을 각각 \(\rm A_2 , \; B_2\) 라 하자. 세 점 \(\r..

두 이차정사각행렬 \(A,\; B\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(BA+B=E\) (나) \(A^2 B=A+E\) 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ㄱ. 행렬 \(B\) 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. \(AB=BA\) ㄷ. 행렬 \(AB\) 의 모든 성분의 합은 \(-2\) 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

자연수 \(n,\;x,\;y\) 에 대하여 \(\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \;\;(x \le y) \) 과 같이 \(\dfrac{1}{n}\) 을 두 분수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(1= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \) 이므로 \(a_1\ = 1\), \(\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\) 이므로 \(a_2 =2\), \(\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\) 이므로 \(a_3 =2\) 이다. 다음..

수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[1\cdot 2a_1 + 3 \cdot 4a_2 +5 \cdot 6 a_3 + \cdots + (2n-1)\cdot 2na_n \ge n\]을 만족시킬 때, 다음은 부등식 \[a_1 +a_2 +a_3 +\cdots + a_n \ge \;(가)\]이 성립함을 증명한 것이다. \(a_1 +a_2 +a_3 +\cdots +a_n\) \(=\left (1- \dfrac{1}{2} \right ) \left (1 \cdot 2a_1 \right )+ \left (\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4} \right ) \left (3 \cdot 4a_2 \right ) + \left (\dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{6} \ri..

아래에서 제 \(n\) 행은 \(n\) 의 양의 약수를 나열한 것이다. 제 \(1\) 행부터 제 \(20\) 행까지 나열된 수의 개수를 구하시오. 정답 66

수열 \(\{a_n\}\) 이 \[T_n=2a_1 +3a_2 + \cdots + (n+1)a_n = \dfrac{n}{2n+4}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits_{k=1}^{n} a_k = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(k+1)^2}-T_n\;\; \cdots \cdots (★)\] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, 좌변 \(=a_1 = \;\;(가)\) 우변 \(=\dfrac{1}{(1+1)^2}-T_1 = \;\;(가)\) 이므로 \((★)\)이 성립한다. (ii) \(n=m\) 일 때 \((★)\) 이 성립한다고 가정하면 \[\..

그림과 같이 중심이 \({\rm A}(1,\;0)\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 위의 점 \({\rm P}_n\) 과 \(x\) 축 위의 점 \({\rm Q}_n\) 은 다음 규칙을 만족한다. (가) 점 \({\rm P}_0\) 은 원점이고, 점 \({\rm P}_n\) 은 제 \(1\) 사분면의 점이다. (나) 호 \({\rm P}_{n-1}{\rm P}_n\) 의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(l_{n+1}=rl_n\) 이다. (다) 점 \({\rm Q}_n\) 은 점 \({\rm B}(0,\;2)\) 와 점 \({\rm P}_n\) 을 이은 직선이 \(x\) 축과 만나는 점이다. \({\rm Q}_2 (2,\;0)\) 이고 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} ..

이차정사각행렬 \(A,\;B\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ㄱ. \(A-2B=E\) 이면 \(AB=BA\) 이다. ㄴ. \(A,\;B\) 의 역행렬이 모두 존재하면 \(A+B\) 의 역행렬이 존재한다. ㄷ. \((AB)^2 =A^2 B^2 \) 이고 \(A\) 의 역행렬이 존재하면 \(A^{-1} B=BA^{-1}\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ①

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10\) 이고, \[a_{n+1}=a_1 + \dfrac{1}{2} a_2 + \dfrac{1}{3} a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n} a_n \;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. \(n\ge 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1} - a_n =\left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n}a_n\right ) \) \(- \left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n-1}a_{n-1}\ri..