수학1_수열_수학적 귀납법_난이도 중

수열 \(\{a_n\}\) 이 \[T_n=2a_1 +3a_2 + \cdots + (n+1)a_n = \dfrac{n}{2n+4}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits_{k=1}^{n} a_k = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(k+1)^2}-T_n\;\; \cdots \cdots (★)\] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.  

(i) \(n=1\) 일 때,
        좌변 \(=a_1 = \;\;(가)\)
        우변 \(=\dfrac{1}{(1+1)^2}-T_1 = \;\;(가)\)
    이므로 \((★)\)이 성립한다.
(ii) \(n=m\) 일 때 \((★)\) 이 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits_{k=1}^{m} a_k = \sum \limits_{k=1}^{m} \dfrac{1}{(k+1)^2}-T_m\]이다. \(n=m+1\) 일 때, \((★)\) 이 성립함을 보이자.
     \(\sum \limits_{k=1}^{m+1} a_k = \sum \limits_{k=1}^{m} \dfrac{1}{(k+1)^2}-T_m +A_{m+1}\)
                 \(=\sum \limits_{k=1}^{m} \dfrac{1}{(k+1)^2} - T_m + \;(나)\times (T_{m+1}-T_m )\)
                 \(=\sum \limits_{k=1}^{m} \dfrac{1}{(k+1)^2} - T_{m+1}+\dfrac{m+3}{m+2} (T_{m+1}-T_m )\)
                 \(=\sum \limits_{k=1}^{m} \dfrac{1}{(k+1)^2} - T_{m+1}+\dfrac{1}{(m+2)^2}\)
                 \(=\sum \limits_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(k+1)^2} - T_{m+1}\)
그러므로 \(n=m+1\) 일 때도 \((★)\) 이 성립한다.
따라서 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \((★)\) 이 성립한다.    

위의 (가)에 알맞은 수를 \(\alpha\), (나)에 알맞은 식을 \(f(m)\) 이라 할 때, \(\dfrac{\alpha}{f(2)}\) 의 값은?

① \(\dfrac{1}{12}\)          ② \(\dfrac{1}{6}\)          ③ \(\dfrac{1}{4}\)          ④ \(\dfrac{1}{3}\)          ⑤ \(\dfrac{1}{2}\)

정답 ④