수악중독

수열 \(\{ a_n\}\) 은 첫째항이 \(2\), 공비가 \(-\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열이다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 점 \({\rm P}_n\) 의 좌표를 \((n,\;a_n )\), 점 \({\rm Q}_n\) 의 좌표를 \((n,\;0)\) 이라 하자. 삼각형 \({\rm P}_n {\rm Q}_n {\rm Q}_{n+1}\) 의 넓이를 \(A_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{20} A_n\) 의 값은? ① \(2- \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{19}\) ② \(2- \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{20}\) ③ \(2+ \left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^..

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n \}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +3}=S_n \; (n \ge 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n \}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식에 \(n=1\) 을 대입하면 \(S_1 >0 \) 이므로 \(a_1 = \;\;(가) \;\; \) 이다. \(a_n = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +2} - \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{6S_k}{a_k +3} = \dfrac{6S_n}{a_n +3} \;(n \ge 2) \) 이고 \(a_1 = \df..

좌표평면 위의 점 \({\rm A}_n \;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정할 때, 삼각형 \(\rm A_1 A_{17} A_{34}\) 의 넓이는? (가) 점 \(\rm A_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm A}_{4n-3}\) 을 \(x\) 축의 양의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-3\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-2}\) 이다. (다) 점 \({\rm A}_{4n-2}\) 를 \(x\) 축의 음의 방향, \(y\) 축의 양의 방향으로 각각 \(4n-2\) 만큼 평행이동한 점은 \({\rm A}_{4n-1}\) 이다. (라) 점 \({\rm A}_{4n-1}\) 을 \(x\) 축의 음의 ..

수열 \(\{a_n\}\) 은 다음과 같이 자연수 \(1\) 이 \(1\) 개, \(2\) 가 \(2\) 개, \(\cdots\), \(n\) 이 \(n\) 개가 나열되는 수열이다.\(\{a_n\} \;:\; 1,\;2,\;2,\;3,\;3,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;\cdots\) \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}} \) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(2\) ④ \(2\sqrt{2}\) ⑤ \(4\) 정답 ②

두 함수 \(f(x)=a^x\) 과 \(g(x)=\log_b x\) 의 교점의 개수를 \(k\) 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne 1,\; a>0,\; b \ne 1,\; b>0\) ) ㄱ. \(a= \dfrac{1}{2},\; b=2\) 이면 \(k=1\) 이다. ㄴ. \(a=b=\sqrt{2}\) 이면 \(k=2\) 이다. ㄷ. \(ab>2\) 이면 \(k=2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③ 

자연수 \(n\) 에 대하여 두 함수 \(y=2^x ,\; y= \log _2 x\) 의 그래프가 직선 \(x=n\) 과 만나는 교점의 \(y\) 좌표를 각각 \(a,\;b\) 라 하자. \(a+b\) 가 세 자리의 자연수일 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. 정답 259

그림과 같이 \(\rm A_1 (1,\;0),\;\;A_2 (-1,\;0),\;\;A_3 (2,\;0), \;\;A_4 (-2,\;0),\;\;\cdots\) 에 대하여 \(\overline {\rm OA_1}\) 을 지름으로 하는 반원을 \(C_1\), \(\overline{\rm A_1 A_2}\) 를 지름으로 하는 반원을 \(C_2\), \(\overline{\rm A_2 A_3}\) 를 지름으로 하는 반원을 \(C_3\)라 하자. 이와 같은 방법으로 만든 반원 \(C_k\;\;(k=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 의 호의 길이를 \(l_k\) 라 하자. \(\sum \limits_{k=1}^{n} l_k =189 \pi\) 를 만족시키는 \(n\) 에 대하여, \({\rm A}_n\) 의 ..

두 함수 \(f(x)=\log _2 x \) 와 \(g(x)=- \log _2 x\) 의 그래프의 교점을 \(\rm A_1\), 직선 \(x=2\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_1 ,\; A_2 ,\; C_1\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 직선 \(x=2^2\) 이 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y=g(x)\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm B_2 ,\; A_3 ,\; C_2\) 이라 하고 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 이라 하자. 직선 \(x=2^3\) 가 세 함수 \(y=f(x),\; y=0,\; y..

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1 =1,\;\; a_1 +a_2 +a_3 + \cdots + a_n = n^2 a_n\) 일 때, \(a_{2009}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2009 \cdot 2010}\) ② \(\dfrac{1}{2008 \cdot 2010}\) ③ \(\dfrac{1}{2008 \cdot 2009}\) ④ \(\dfrac{1}{1005 \cdot 2009}\) ⑤ \(\dfrac{1}{1004 \cdot 2008}\) 정답 ④

어떤 학생이 계발활동 시간에 목걸이를 만들고자 한다. 그림과 같이 세 종류의 인조 보석 다이아몬드, 구, 별 을 사용하여 처음에는 다이아몬드 1개, 구 1개, 별 2개를 꿰고 난 뒤, 다음 규칙을 순서대로 반복한다. \(\rm I\). 다이아몬드는 바로 전 단계에서 꿴 다이아몬드의 개수보다 \(1\) 개 더 많이 꿴다. \(\rm II\). 구는 바로 전 단계에 꿴 구의 개수보다 \(2\) 개 더 많이 꿴다. \(\rm III\). 별은 \(\rm I,\; II\) 에서 꿴 다이아몬드와 구의 개수를 더한 만큼 꿴다. 인조 보석 \(200\) 개를 사용하여 목걸이를 만들었을 때, 목걸이에 있는 구의 개수를 구하시오. 정답 64