수악중독

세 양수 \(a,\;b,\;c\) 는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(a+b+c=\dfrac{7}{2}\) (나) \(abc=1\) \(a^2 +b^2 +c^2\) 의 값은? ① \(\dfrac{13}{4}\) ② \(\dfrac{15}{4}\) ③ \(\dfrac{17}{4}\) ④ \(\dfrac{19}{4}\) ⑤ \(\dfrac{21}{4}\) 정답 ⑤

선미는 문제 수가 \(x\) 인 수학책을 첫째 날에는 \(15\) 문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 \(d\) 만큼씩 증가시키면서 풀어 아홉째 날까지 문제를 풀고 나면 \(24\) 문제가 남게 된다. 또, 첫째 날에는 \(30\) 문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 \(d\) 만큼씩 증가시키면서 풀어 일곱째 날까지 문제를 풀고 나면 \(39\) 문제가 남게 된다. 선미가 풀고자 하는 이 수학책의 문제 수 \(x\) 를 구하시오. 정답 \(375\)

넓이가 \(A\) 인 원을 중심각이 \(\theta_1 , \; \theta_2 , \; \theta _3, \;\cdots,\; \theta_n\) 인 \(n\) 개의 부채꼴로 나누고 중심각이 \(\theta_k \; (k=1,\;2,\; \cdots,\;n)\) 인 부채꼴의 넓이를 \(A_k\) 이라 하자. 수열 \(\{\theta_n\}\) 이 등차수열을 이루고 \(\sum \limits_{k=1}^{n} \theta_k = 2\pi\) 이다. \(A_1 + A_n = \dfrac{1}{5}A\) 일 때, \(n\) 의 값은? ① \(8\) ② \(9\) ③ \(10\) ④ \(11\) ⑤ \(12\) 정답 ③

다음 그림과 같이 \(2\) 번 접어 세 겹으로 만든 리본을 가위로 평행하게 \(1\) 번, \(2\) 번, \(3\) 번, \(\cdots\) 자르면 리본은 각각 몇 개의 조각으로 나누어진다. 이와 같이 \(2\) 번 저버 세 겹으로 만든 리본을 가위로 평행하게 \(10\) 번 자를 때, 나누어진 리본의 최대 개수는? ① \(22\) ② \(25\) ③ \(28\) ④ \(31\) ⑤ \(34\) 정답 ④

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n ,\; {\rm Q}_n\) 을 다음 규칙대로 잡는다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \((0,\;0)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_n\) 을 \(x\) 축의 방향으로 \(n\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(n\) 만큼 평힝이동시킨 점은 \({\rm Q}_n\) 이다. (다) 점 \({\rm Q}_n\) 을 \(x\) 축의 방향으로 \(-1\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(1\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm P}_{n+1}\) 이다. 점 \({\rm Q}_n\) 의 좌표를 \((a_n ,\; b_n)\) 이라 할 때, \(a_{21}+b_{21}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(464\)

점근선의 방정식이 \(y=2\) 인 지수함수 \(y=2^{2x+a}+b\) 의 그래프를 \(y\) 축에 대하여 대칭이동시킨 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 점 \((-1,\;10)\) 을 지날 때, 두 상수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(a+b\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{2}\) ② \(3\) ③ \(\dfrac{7}{2}\) ④ \(4\) ⑤ \(\dfrac{9}{2}\) 정답 ②

두 함수 \(f(x)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2},\;\; g(x)=a^{|x|}\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a>1\)) ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 \(y\) 축에 대하여 대칭이다. ㄴ. 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)-g(x) \leq 0\) 이다. ㄷ. \(c>1\) 일 때, 방정식 \(f(x)=c\) 의 한 실근을 \(\alpha\), 방정식 \(g(x)=c\) 의 한 실근을 \(\beta\) 라 하면 \(|\alpha| > |\beta|\) 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

\(a_1=1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(3a_n -1 >0\) (나) \(3a_{n+1} -1 < \dfrac{1}{2} (3a_n -1)\) \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ②

좌표평면 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm P_1}(1,\;0)\) 이 있다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n (x_n ,\; y_n)\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 동경 \({\rm OP}_n\) 이 나타내는 각의 크기는 \(\dfrac{n-1}{3}\pi\) 이다. (나) \[\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_{n + 1}}} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{1}{2}\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} > 0} \right)}\\[12pt] {\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} = 0} \rig..

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 자연수 \(n\) 에 대하여 \[a_n = 5n+1\] \[b_1=1, \;\; b_{n+1}-b_n=n+1\] 을 만족시킨다. \(10\) 이하인 두 자연수 \(k,\;l\) 에 대하여 \(a_k\) 와 \(b_l\) 의 곱이 홀수가 되는 순서쌍 \((k, \;l)\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(30\)