수악중독

정수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2^a \times 3^b = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+2)}\) 가 성립할 때, \(a^2 +b^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)

\(2500 \rm L\) 의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 \(1200 \rm L\) 의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 \(12%\) 를 사용한 다음 \(x \rm L\) 의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 \(n\) 번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 \(a_n \rm L\) 라 하자. 부등식 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n \leq 2000\) 이 성립하도록 하는 \(x\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(240\)

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 \(1\) 호 댐과 \(2\) 호 댐이 있다. 강 상류의 \(1\) 호 댐으로부터 \(2\) 호 댐으로 매일 \(100\) 만톤의 물이 유입되고, 정오에 \(2\) 호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 \(2%\) 를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 \(2\) 호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (단 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.)① \(4400\) 톤 ② \(4600\) 톤 ③ \(4800\) 톤 ④ \(5000\) 톤 ⑤ \(5200\) 톤 정답 ④

무한등비수열 \( \left \{ \left ( - \sin \dfrac{k \pi}{4} \right ) ^n \right \}\) 이 수렴하도록 하는 \(10\) 이하의 자연수 \(k\) 의 개수는? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ④

첫째항이 \(12\) 이고 공비가 \(\dfrac{1}{3}\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 수열 \(\{b_n\}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) \(b_1=1\)(나) \(n \geq 1\) 일 때 \(b_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n \left (-b_n , \; b_n^2 \right )\) 을 지나고 기울기가 \(a_n\) 인 직선과 곡선 \(y=x^2\) 의 교점 중에서 \({\rm P}_n \) 이 아닌 점의 \(x\) 좌표이다. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(19\)

무한수열 \[2+\dfrac{1}{2},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}, \;\; \cdots\]은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다. 주어진 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 하면 \(a_1=2+\dfrac{1}{2}\) 이고 이 수열의 극한값을 \(x\) 라고 하면 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = x, \;\; \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}=x\) 이므로 \(x=(가)+\dfrac{1}{x}\) 이다. 따라서 구하는 극값값은 \((나)\) 이다. 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? ① ..

다음과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. \[\left\{ {\begin{array}{ll} {{a_1} = 2}\\ {{a_{n + 1}} = \dfrac{3}{4}{a_n} + 4\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \right)} \end{array}\;\;} \right.\] \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)

두 수 \(2^n\) 과 \(5^n\) 의 최고 자릿수가 \(a\) 로 같아지도록 하는 자연수 \(n\) 과 \(a\) 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a \cdot 10^p

자연수 \(A\) 에 대하여 \(\log A\) 의 지표를 \(n\), 가수를 \(\alpha\) 라 할 때, \(n \geq 2 \alpha\) 가 성립하도록 하는 \(A\) 의 개수를 구하시오. (단, \(3.1

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 \(n\) 의 값의 합을 구하시오. (가) \(1