수악중독

지수함수 \(y=a^{2x}\) 과 로그함수 \(y=\log_{2x}x\) 가 직선 \(y=-x+2\) 와 제 \(1\) 사분면에서 만나는 교점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라고 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, \(a>0, \; a \ne \dfrac{1}{2}\) 이고 점 \(\rm O\) 는 원점이다.) ㄱ. \(a=2\) 이면 \(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OQ}\) 이다. ㄴ. \(a>2\) 이면 \(\overline{\rm OP}

자연수 \(n\) 에 대하여 \(\log n\) 의 가수를 \(f(n)\) 이라 할 때, 집합 \[A=\{ f(n) \;|\; 1 \leq n \leq 150, \; n 은 \; 자연수\}\] 의 원소의 개수는? ① \(131\) ② \(133\) ③ \(135\) ④ \(137\) ⑤ \(139\) 정답 ③

함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(-1 \leq x < 1\) 에서 \(f(x)=|2x|\) 이다. (나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x+2)=f(x)\) 이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 함수 \(y=\log_{2n} x\) 의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{7} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(553\)

\(x\) 에 대한 부등식 \[\left ( 3^{x+2}-1 \right ) \left ( 3^{x-p}-1 \right ) \leq 0\] 을 만족시키는 정수 \(x\) 의 개수가 \(20\) 일 때, 자연수 \(p\) 의 값을 구하시오. 정답 \(17\)

그림과 같이 한 변의 길이가 \(3\) 인 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 이 있다. 네 선분 \(\rm A_1B_1\), \( \rm B_1C_1\), \(\rm C_1D_1\), \( \rm D_1A_1\) 을 각각 \(1:2\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm E_1,\; F_1,\;G_1,\;H_1\) 이라 하고, 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 \(\rm A_1E_1\), \(\rm B_1F_1, \; C_1G_1, \;D_1H_1\) 을 각각 반지름으로 하는 \(4\) 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 \(R_1\) 이라 하자. 정사각형 \(\rm E_1F_1G_1H_1\) 과 도형 \(R_1\) 과의 교점 중 정사각..

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x),\;g(x)\) 라 할 때, 두 양수 \(a, \;b\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(10 \leq a

자연수 \(n\) 에 대하여 \(n\) 의 양의 약수의 개수를 \(D(n)\) 이라 할 때, \(S(n)\) 을 \[S(n)=D(1)+D(2)+\cdots D(n)\] 으로 정의하자. \(400\) 이하의 자연수 \(n\) 중에서 \(S(n)\) 의 값이 홀수가 되도록 하는 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(210\)

그림은 함수 \(y=\log _3x+24\) 의 그래프와 직선 \(y=x\) 를 나타낸 것이다. 부등식 \[x

무한급수 \(\left ( \dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{3} \right )+\left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4} \right )+\left ( \dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{5} \right )+\cdots \) 의 합은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ③

수열 \(\{a_n\}\) 의 계차수열 \(\{b_n\}\) 이 다음을 만족시킬 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_1 +a_n) \)의 값을 구하시오. (단, \(a_1>0\)) (가) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n=2\)(나) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_n}{a_na_{n+1}} = \dfrac{1}{12}\) 정답 \(10\) \(\therefore \lim \limits_{n \to \infty} (a_1 +a_n) = a_1+a_1+2=4+4+2=10\)