수악중독

곡선 \(y=6x^2+1\) 과 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1-h,\; x=1+h\;(h>0)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(h)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{h \to +0} \dfrac{S(h)}{h}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(14\)

다항함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt-f(x)}{x^2-1}=2\) 를 만족할 때, \(f'(1)\) 의 값은? ① \(-4\) ② \(-3\) ③ \(-2\) ④ \(-1\) ⑤ \(0\) 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 \(\rm A(2,\;0), \; B(0,\;3)\) 을 지나는 직선과 곡선 \(y=ax^2 \;(a>0)\) 및 \(y\) 축으로 둘러싸인 부분 중에서 제\(1\)사분면에 있는 부분의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 또, 직선 \(AB\)와 곡선 \(y=ax^2\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. \(S_1 :S_2=13:3\) 일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{9}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{9}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{2}{3}\) 정답 ②

그림과 같이 두 점 \(\rm P, \;Q\) 는 각각 \((2, \;0), \;(0, \;-1)\) 에서 동시에 출발하여 점 \(\rm P\) 는 매초 \(3\) 의 속도로 \(x\) 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 \(\rm Q\) 는 매초 \(1\) 의 속도로 \(y\) 축의 양의 방향으로 움직이고 있다. 출발할 지 \(t\) 초 후의 위치를 각각 \(\rm P',\;Q'\) 라 하고 \(\triangle \rm OP'Q'\) 의 넓이는 \(S(t)\) 라 하자. \(\displaystyle \int_{0}^{2} S(t) dt = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p^2+q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 소로소인 자연수이다.) 정답 \(29\)

두 다항함수 \(f(x), \;g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 (가) \(f(x)g(x)=x^3+3x^2-x-3\) (나) \(f'(x)=1\) (다) \(g(x)=2 \displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\; dt\) \(\displaystyle \int_{0}^{3} 3g(x) \;dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)

다음 세 조건을 만족시키는 함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(\displaystyle \int _{0}^{4} f(x) dx\) 이 최솟값을 가질 때, \(k\) 의 값은? (가) 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2+x)=f(2-x)\) (나) \(\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x) dx=2k+4\) (다) \(\displaystyle \int_{0}^{6} f(x) dx=k^2\) ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

\(\overline{\rm AD}=1,\; \overline{\rm AB}=\sqrt{2},\; \overline{\rm BC}=3\) 인 등변사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 변 \(\rm AB\) 를 \(n\) 등분한 점을 각각 \(\rm P_1, \;P_2 ,\; P_3, \; \cdots,\; P_{\it n \rm -1}\) 이라 하고, 각 점에서 변 \(\rm BC\) 에 평행한 직선을 그어 변 \(\rm CD\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm Q_1, \;Q_2,\; \cdots ,\; Q_{\it n \rm -1}\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \left ( \overline{\rm P_1Q_1}^3 +\overline..

모든 실수 \(x\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 는 \(f(x)=f(x+2)\) 를 를 만족시키고, \(-1 \leq x \leq 1\) 에서 다음과 같이 정의된다. \[ f(x)=30x^2+15\] 이때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left ( 10+ \dfrac{2k}{n} \right )\) 의 값을 구하시오. 정답 \(25\)

\(\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{(n+1)^4}{n^5}+\dfrac{(n+2)^4}{n^5}+\dfrac{(n+3)^4}{n^5}+\cdots +\dfrac{(n+n)^4}{n^5} \right \} = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수) 정답 \(36\)

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 의 시각 \(t \;(0 \leq t \leq 8)\) 에서의 속도가 각각 \(2t^2-8t,\;\; t^3-10t^2+24t\) 이다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 \(64\)