수악중독

첫째항과 공비가 모두 \(\dfrac{3}{5}\) 인 등비수열 \(\{a_n \}\) 과 수렴하는 수열 \(\{b_n \}\) 이 있다. 이차항의 계수가 \(1\) 인 이차함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(1)\) 의 값은? (가) \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)-a}{x} = 3\) (단, \(a\) 는 상수이다.) (나) \(\lim \limits_{n \to \infty} f (a_n b_n ) =4\) ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ③

그림과 같이 직선 \(y=-2x+4\) 가 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm A, \; B\) 라 하자. 선분 \(\rm AB\) 를 \(n\) 등분한 점을 점 \(\rm B\) 에서 가까운 순서대로 \(\rm P_1 ,\; P_2 , \; P_3 ,\; \cdots, \; P_{{\it n}-1}\) 이라고 하고, 점 \({\rm P}_k \;(k=1,\;2,\;3,\; \cdots,\; n-1)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선과 직선 \(y=-x+2\) 가 만나는 점을 \(\rm Q_{\it k}\) 라 하자. 삼각형 \(\rm BP_{\it k} Q_{\it k}\) 의 넓이를 \(S_k\) 라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \s..

전체집합 \(U= \{ 1,\;2,\;3,\;4,\;5\}\) 의 두 부분집합 \(A,\;B\) 에 대하여 \(A \cap B = \emptyset\) 을 만족하는 순서쌍 \((A, \; B)\) 의 개수는? ① \(32\) ② \(243\) ③ \(252\) ④ \(276\) ⑤ \(1024\) 정답 ②

두 함수 \(f(x)=|x|-1,\; g(x)=[x]\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. 방정식 \(f(x)-g(x)=0\) 의 실근은 \(2\) 개이다.ㄴ. 함수 \((f \circ g)(x)\) 는 \(x=1\) 에서 불연속이다.ㄷ. \(\lim \limits_{x \to \infty} g \left ( 1- \dfrac{1}{x^2} \right ) = \lim \limits_{x \to k+0} g(f(x))\) 를 만족시키는 정수 \(k\) 는 \(2\) 개이다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

일의 자리 숫자가 \(0\) 이 아닌 자연수 \(n\) 의 각 자리의 숫자를 거꾸로 나열한 수를 \(\) 이라 하자. 예를 들어 \(n=123\) 이면 \(=321\) 이다. 일의 자리의 숫자가 \(0\) 이 아닌 세 자리 자연수 중 임의로 한 개를 택하여 \(m\) 이라 할자. \(m+\) 이 \(3\) 의 배수일 때, \(m\) 이 짝수일 확률은? ① \(\dfrac{1}{9}\) ② \(\dfrac{2}{9}\) ③ \(\dfrac{4}{9}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{7}{9}\) 정답 ③

\(x \geq 0\) 에서 정의된 삼차함수 \(f(x)\) 는 \(f(0)=0\) 이고, \(x>0\) 인 모든 실수 \(x\) 에서 \(f'(x) \geq 0\) 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(g(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)=\displaystyle \int _0 ^x \left \{ f(t)-g(t) \right \} dt \;\; (x \geq 0) \] 이라 하면 \(y=h(x)\) 의 그래프는 그림과 같다. \(h(x)\) 가 \(x=6\) 일 때 극댓값 \(12\) 를 가지고, \(x=10\) 일 때 극솟값 \(4\) 를 가진다고 할 때, \(\displaystyle \int _0 ^{10} g(t) dt\) 의 값은? ① \(40\) ② \..

\(\rm A, \; B\) 두 사람이 각각 주사위를 한 번씩 던져서 나오는 두 눈의 수의 합이 \(10\) 이상이면 \(\rm A\) 가 \(2\) 점을 얻고, \(10\) 미만이면 \(\rm B\) 가 \(1\) 점을 얻는 게임을 한다. 이 게임을 \(180\) 번 시행할 때, \(\rm B\) 가 얻은 점수가 \(\rm A\) 가 얻은 점수의 \(2\) 배 이상이 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? ① \(0.5808\) ② \(0.6587\) ③ \(0.8413\)④ \(0.8849\) ⑤ \(0.9641\) 정답 ④

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 무레 \(\rm A,\; B\) 의 시각 \(t\) 에서의 속도는 각각 \(2t^2 -23t +48 ,\;\; -t^2 +7t\) 이다. \(0 \leq t \leq 10\) 일 때, 두 물체 \(\rm A\) 와 \(\rm B\) 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 64

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 닫힌 구간 \([t,\; t+1]\) 에서 함수 \(f(x)\) 의 최솟값을 \(g(t)\)라 할 때, \(1\leq t \leq 2\) 에서 \(g(t)\) 는 상수함수이다. 이때, \(f(5)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(65\)

두 집합 \(X=\{ a,\;b,\;c\},\;\;Y=\{ 1, \;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7\}\) 이 있다. \(X\) 의 임의의 두 원소 \(x_1 ,\; x_2\) 에 대하여 $x_1 \ne x_2$ 이면 \(f(x_1 ) \ne f(x_2 )\) 를 만족시키는 \(X\) 에서 \(Y\) 로의 함수 \(f\) 의 집합을 \(P\) 라 하자. 집합 \(\{ (g,\;h)\; |\; g,\;h \in P\}\) 의 원소 중 임의로 한 개를 택할 때, \(X\) 의 임의의 두 원소 \(x_1 , \; x_2\) 에 대하여 \(g(x_1 ) \leq h(x_2 ) \) 일 확률이 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소..