수악중독

실수 전체의 집합에서 연속이고 \(f(0)=0\) 인 함수 \(y=f(x)\) 의 도함수 \(f'(x)\) 가 \(f'(x)=|x|\) 이다. 함수 \(y=g(x)\) 의 그래프는 다음과 같다. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to \sqrt{2}} g \{f(x)\}=1\) ㄷ. 합성함수 \(y=g \{g(x) \}\) 는 \(x=1\) 에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} + kx + k}&{\left( {x a + 1} \right)}\\{4x - 1}&{\left( {a \le x \le a + 1} \right)}\end{array}} \right.\] 이 모든 실수 \(x\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a,\;k\) 의 합 \(a+k\) 의 최댓값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ③

다항함수 \(g(x)\) 에 대하여 극한값 \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)-2x}{x-1}\) 가 존재한다. 다항함수 \(f(x)\) 가 \(f(x)+x-1=(x-1)g(x)\) 를 만족시킬 때, \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2-1}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\dfrac{{a\sqrt {x + 2} + b}}{{x - 2}}}&{\left( {x \ne 2} \right)}\\2&{\left( {x = 2} \right)}\end{array}} \right.\) 가 \(x=2\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2a-b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 이다. (나) \(\lim \limits_{x \to -1} \dfrac{f(x)-2}{x+1}\) 와 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-3}{x-2}\) 의 값이 모두 존재한다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린 구간 \((1, \;2)\) 에서 적어도 \(1\) 개의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 \(\log \{f(x)\}^2 = \log f(x)\) 는 열린 구간 \((-1, \;2)\) 에서 적어도 \(2\) 개의 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(4^{ \{f(x) \}..

\(x>0\) 에서 정의된 함수 \[f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^n+[x]^{n-1}}{[x]^n+x^{n-1}}\]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. \(f \left (\dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 2} f(x)=2\) ㄷ. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=k\) 에서 연속이 되도록 하는 자연수 \(k\) 는 \(1\) 개이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(f(1)=0, \; \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{\{f(x)\}^2-2f(x)}{1-x}=10\) 을 만족시킬 때, \(x=1\) 에서의 미분계수 \(f'(1)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)

이차함수 \(f(x)=x^2+ax+b\) (\(a,\;b\) 는 상수) 가 \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(2h)}{h}=5\) 를 만족시킬 때, \(10(a+b)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(25\)

미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(2)}{x-2}=3,\; \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} =2\) 를 만족시킬 때, \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(f(x))}{x-2}\) 의 값은? ① \(0\) ② \(1\) ③ \(2\) ④ \(4\) ⑤ \(6\) 정답 ⑤

연속함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a\) 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne -1\) 인 상수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^3-1} = \dfrac{a}{3}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-f(x)}{x+f(x)} = \dfrac{1-a}{1+a}\) ㄷ. 방정식 \(f(x)\) 은 열린구간 \((0,\;1)\) 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③