수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 길이가 \(8\) 인 선분 \(\rm AB\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 삼등분점 \(\rm A_1,\;B_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm A_1B_1\) 을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_1, \;Q_1\) 이라고 하자.

선분 \(\rm A_1B_1\) 의 삼등분점 \(\rm A_2, \;B_2\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm A_2B_2\) 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_2, \;Q_2\) 라고 하자.

선분 \(\rm A_2B_2\) 의 삼등분점 \(\rm A_3, \;B_3\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm A_3B_3\) 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 \(\rm P_3, \;Q_3\) 라고 하자.

이과 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 두 호 \({\rm P}_n{\rm A}_n{\rm Q}_n\) , \({\rm P}_n {\rm B}_n {\rm Q}_n\) 의 길이의 합을 \(l_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} l_n\) 의 값은?

 

  ① \(\dfrac{10}{3}\pi\)          ② \(4\pi\)          ③ \(\dfrac{14}{3}\pi\)          ④ \(\dfrac{16}{3}\pi\)          ⑤ \(6\pi\)

 

 

정답 ④