수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 한 변의 길이가 \(a\) 인 정사각형 \(\rm OB_1C_1A_0\) 이  있다 삼각형 \(\rm OA_1D_1\) 이 \(\angle \rm D_1OA_1=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_1C_1\), \(\rm A_0C_1\) 위에 각각 점 \(\rm A_1, \;D_1\) 을 잡고 변 \(\rm OA_1\) 의 길이를 \(l_1\) 이라 하자. 선분 \(\rm OA_1\) 을 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm OB_2C_2A_1\) 에서 삼각형 \(\rm OA_2D_2\) 가 \(\angle \rm D_2OA_2=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_2C_2\), \(\rm A_1C_2\) 위에 각각 점 \(\rm A_2, \; D_2\) 를 잡고 변 \(\rm OA_2\) 의 길이를 \(l_2\) 라 하자. 선분 \(\rm OA_2\) 를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm OB_3C_3A_2\) 에서 삼각형 \(\rm OA_3D_3\) 이 \(\angle \rm D_3OA_3=30^{\rm o}\) 인 이등변삼각형이 되도록 변 \(\rm B_3C_3\), \(\rm A_2C_3\) 위에 각각 점 \(\rm A_3, \; D_3\) 를 잡고 변 \(\rm OA_3\) 의 길이를 \(l_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 이등변삼각형 \({\rm OA}_n {\rm D}_n\) 에서 변 \({\rm OA}_n\) 의 길이를 \(l_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{l_n}=\sqrt{3}\) 일 때, \(a\) 의 값은?

① \(\sqrt{3}\)                              ② \(1+\sqrt{3}\)                              ③ \(2+\sqrt{3}\)

④ \(3+\sqrt{3}\)                       ⑤ \(6+\sqrt{3}\)

 

 

정답 ③