수악중독

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좌표평면에서 두 점 \(\rm A(5,\;0), \; \rm B(-5,\;0)\) 에 대하여 장축이 선분 \(\rm AB\) 인 타원의 두 초점을 \(\rm F, \;F'\) 이라 하자. 초점이 \(\rm F\) 이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P,\;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ}=2\sqrt{10}\) 일 때, 두 선분 \(\rm PF\) 와 \(\rm PF'\) 의 길이의 곱 \(\overline{\rm PF} \times \overline{\rm PF'}\) 의 값은 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(103\)

행렬 \(\left ( \matrix { \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3}} \right ) \) 이 나타내는 일차변환에 의하여 좌표평면 위의 점 \({\rm P}_n (a_n,\; b_n)\) 이 옮겨지는 점을 \({\rm P}_{n+1} ( a_{n+1},\;b_{n+1})\) 이라 하자. \(\rm P_1 (4, \;-2)\) 일 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_n -2b_n)\) 의 값은? (단, \(n\) 은 자연수이다.) ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ②

회전변환 \(f\) 에 의하여 직선 \(2x-y=5\) 는 점 \((2,\;1)\) 을 지나는 직선으로 이동한다. 회전변환 \(f\) 를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? ① \(\dfrac{6}{5}\) ② \(\dfrac{8}{5}\) ③ \(2\) ④ \(-\dfrac{6}{5}\) ⑤ \(-\dfrac{8}{5}\) 정답 ①

두 일차변환 \(f,\;g\) 를 나타내는 행렬이 각각 \(\left ( \matrix { \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta} \right ) ,\;\; \left ( \matrix {\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2}} \right ) \) 이다. 점 \(\rm A_1 (4,\;0)\) 이 합성변환 \(g \circ f\) 에 의하여 옮겨지는 점을 \(\rm A_2\), 점 \(\rm A_2\) 가 합성변환 \(g \circ f\) 에 의하여 옮겨지는 점을 \(\rm A_3, \; \cdots \), 점 \({\rm A}_{n-1}\) 이 합성변환 \(g \circ f\) 에 의하여 옮겨지는 점을 \({\r..

좌표평면에서 원 \(x^2+y^2=2\) 와 직선 \(y= \left ( \tan \dfrac{\pi}{8} \right ) x\) 가 제 \(1\)사분면에서 만나는 점의 좌표를 \((a,\;b)\) 라 할 때, 행렬 \(A= \left ( \matrix { a & -b \\ b & a} \right ) \) 로 나타내어지는 일차변환을 \(f\) 라 하자. 이때, 행렬 \(A^n\) 으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 \((2,\;3)\) 이 점 \((2k, \;3k)\) 로 옮겨지도록 하는 자연수 \(n\) 과 실수 \(k\) 가 존재한다. 자연수 \(n\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 하고, 이때의 \(k\) 값을 \(k'\) 이라 하자. \(m+|k'|\) 의 값을 구하시오. 정답 \(24\)

두 일차변환 \(f,\;g\) 를 나타내는 행렬이 각각 \(\left ( \matrix { \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} } \right ), \;\; \left ( \matrix {k & 0 \\ 0 & k} \right )\) 일 때, 원 \(c: \left (x-\sqrt{3} \right )^2 + (y+1)^2=1\) 이 합성변환 \(g \circ f\) 에 의하여 옮겨지는 도형을 \(D\) 라 하자. \(1 \leq k \leq 2\) 일 때, 도형 \(D\) 가 둘러싸는 영역 전체를 \(x\) 축의 둘레로 회전시켜 생기는 입체의 부피는 \(V\) 이다. \(\dfrac{6V}{\pi}\) 의..

두 행렬 \(A= \left ( \matrix{1 & -1 \\ 1 & 1} \right ) ,\; B= \left ( \matrix {1 & 0 \\ 0 & -1} \right ) \) 로 나타내어지는 일차변환을 각각 \(f, \;g\) 라 하자. 함수 \(y=-|x-2|+2\) 의 그래프가 합성변환 \(g \circ f\) 에 의하여 옮겨진 도형과 직선 \(y=-x\) 로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① \(4\) ② \(4\sqrt{2}\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(8\sqrt{2}\) 정답 ④

행렬 \(\left ( \matrix {3 & 0 \\ 0 & 2} \right )\) 로 나타내어지는 일차변환 \(f\) 와 점 \(\rm P_1 (3,\;2)\) 에 대하여 \({\rm P}_{n+1}=f({\rm P}_n)\;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 이라 하자. 원점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 점 \({\rm P}_n\) 을 지나는 원을 \(C_n\) 이라 하고, 점 \({\rm P}_n\) 에서 원 \(C_n\) 에 접하는 직선을 \(l_n\) 이라 하자. 원 \(C_n\) 이 일차변환 \(f\) 에 의하여 옮겨진 도형에 접하면서 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 지나는 직선의 기울기를 \(a_n\) 이라 하고, 직선 \(l_n\) 의 기울기를 \(b_n\) 이..

그림과 같이 점 \(\rm P(1, \;0)\) 을 지나고 \(x\) 축에 수직인 직선이 제\(1\)사분면에서 원 \(x^2+y^2=2\) 와 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하고, 점 \(\rm P'(0, \;1)\) 을 지나고 \(y\) 축에 수직인 직선이 제\(2\)사분면에서 원 \(x^2+y^2=2\) 와 만나는 점을 \(\rm Q'\) 이라 하자. 선분 \(\rm PQ\) 를 선분 \(\rm P'Q'\) 으로 옮기는 일차변환은 두 개가 존재한다. 이 두 개의 일차변환을 나타내는 행렬을 \(A, \;B\) 라 할 때, 행렬 \(A+B\) 는? ① \(\left ( \matrix { -2 & 1 \\ 0 & 1} \right )\) ② \(\left ( \matrix { 2 & 1 \\ -1 & ..