수악중독

그림과 같이 평면 위의 정삼각형 \(\rm ABC\) 에서 선분 \(\rm BC, \; CA,\; AB\) 를 각각 \(2:1, \; 1:1, \;2:1\) 로 내분하는 점을 차례로 \(\rm D, \;E,\;F\) 라 하자. 점 \(\rm D,\;E,\;F\) 를 출발하여 \(\overrightarrow{\rm BC},\; \overrightarrow{\rm CA},\; \overrightarrow{\rm AB}\) 의 방향으로 같은 속력으로 움직이고 있는 점을 각각 \(\rm P, \;Q,\;R\) 라 하고, 삼각형 \(\rm PQR\) 의 무게중심을 \(\rm G\) 라 하자. 평면 위의 일정한 점 \(\rm O\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm OG}= l \; \overrig..

삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 점 \(\rm P\) 는 \[ 3 \overrightarrow{\rm PA} + 2 \overrightarrow{\rm PB} + \overrightarrow{\rm PC} = k \overrightarrow{\rm BC}\] 를 만족한다. 점 \(\rm P\) 가 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부에 있도록 하는 모든 정수 \(k\) 의 값의 합은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ②

공간에서 \(\overline{\rm AB} = 8 ,\; \overline{\rm BC}=5, \; \overline{\rm CA}=7\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내심을 \(\rm I\) 라 할 때, 평면 \(\rm ABC\) 위에 있지 않은 점 \(\rm O\) 에 대하여 \[\overrightarrow{\rm OI}=p \; \overrightarrow{\rm OA}+ q \; \overrightarrow{\rm OB} + r \; \overrightarrow{\rm OC}\] 가 성립한다. \(\dfrac{7}{pqr}\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q,\;r\) 은 상수이다.) 정답 \(200\)

그림과 같이 \(-1 \leq k \leq 1\) 인 실수 \(k\) 에 대하여 두 타원 \(9x^2 +4y^2 =9, \;\; x^2 +4y^2 +1\) 과 직선 \(x=k\) 와의 교점 중 \(y\) 좌표가 음이 아닌 실수인 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm OP} = \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB}\) 를 만족시키는 점 \(\rm P\) 전체의 집합이 나타내는 도형의 길이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{2}\) 정답 ④

좌표평면에서 점 \({\rm A} (1, \;0)\) 과 부등식 \(y \geq x^2 +\dfrac{1}{4}\) 이 나타내는 영역에 점 \(\rm P\) 가 있다. \(0 \leq t \leq \dfrac{1}{ | \overrightarrow{\rm AP} |}\) 인 실수 \(t\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AQ} = t \; \overrightarrow{\rm AP}\) 를 만족시키는 점 \(\rm Q\) 전체의 집합이 나타내는 도형의 넓이는? ① \(\dfrac{\pi}{4}\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ①

평면 위에 사각형 \(\rm ABCD\) 내부의 한 점 \(\rm P\) 가 \[2 \left ( \overrightarrow {\rm BP} + \overrightarrow{\rm CP} \right ) = \overrightarrow{\rm AD} + \overrightarrow{\rm CD} , \;\; 2 \overrightarrow {\rm BP} = \overrightarrow{\rm PA} - 3 \overrightarrow{\rm CP} \] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 사각형 \(\rm APCD\) 는 평행사변형이다. ㄴ. 직선 \(\rm AP\) 와 선분 \(\rm BC\) 의 교점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm PA} ..

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나 세 평면 \(\alpha, \; \beta ,\; \gamma\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이다.(나) 두 평면 \(\beta, \; \gamma \) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 두 점 \(\rm A, \; B\) 는 각각 두 평면 \(\beta , \; \gamma\) 의 교선, 두 평면 \(\gamma, \; \alpha\) 의 교선이 구와 만나는 점이고 호 \(\rm AB\) 의 길이는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다. 두 평면 \(\alpha , \; \ga..

그림과 같이 \(\overline {\rm AB} =2,\; \overline{\rm AD}=3,\; \overline{\rm AE}=4\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 평면 \(\rm AFGD\) 와 평면 \(\rm BEG\) 의 교선을 \(l\) 이라 하자. 직선 \(l\) 과 평면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos ^2 \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{7}\) ② \(\dfrac{2}{7}\) ③ \(\dfrac{3}{7}\) ④ \(\dfrac{4}{7}\) ⑤ \(\dfrac{5}{7}\) 정답 ⑤

반지름의 길이가 \(1\), 중심이 \(\rm O\) 인 원을 밑면으로 하고 높이가 \(2\sqrt{2}\) 인 원뿔이 평면 \(\alpha\) 에 놓여 있다. (단, 원뿔의 한 모선이 평면 \(\alpha\) 에 포함된다.) 그림과 같이 원뿔을 평면 \(\alpha\) 와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이는? ① \(\dfrac{13}{8}\) ② \(\dfrac{7}{4}\) ③ \(\dfrac{15}{8}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{17}{8}\) 정답 ④

좌표공간에서 평면 \(x+y+z=1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\rm Q\) 는 반직선 \(\rm OP\) 위의 점이다. (나) \(\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} = 1\) 세 점 \({\rm A}(1,\;0,\;0), \;\; {\rm B}(0,\;1,\;0),\;\; {\rm C}(0,\;0,\;1)\) 이고, \(\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right |\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm Q\) 를 \(\rm D\) 라 할 때, 사면체 \(\rm ABCD\) 의 부피는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ①..