수악중독

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 \(5\)인 정삼각형 \(\rm OAB\)에서 변 \(\rm OB\) 위에 \(\overline{\rm OD} = 4\)인 점 \(\rm D\)를 잡는다. 꼭짓점 \(\rm O\)에서 선분 \(\rm AD\) 위에 내린 수선의 발을 \(\rm H\)라 할 때, \({\overrightarrow{\rm OH}}=l{\overrightarrow{\rm OA}}+m{\overrightarrow{\rm OB}}\)가 성립한다. 두 상수 \( l, \; m\)에 대하여 \(l^2 +m^2 \)의 값은? ① \(\Large \frac{12}{49}\) ② \(\Large \frac{2}{7}\) ③ \(\Large \frac{16}{49}\) ④ \(\Large \frac{18}..

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 \(4,\;1\) 인 두 구가 서로 외접하며 평평한 바닥 \(\alpha\) 의 \(\rm A,\;B\) 지점에 닿도록 놓여 있다. 또, 점 \(\rm A\) 를 지나며 직선 \(\rm AB\) 에 수직인 직선 \(l\) 이 평면 \(\alpha\) 위에 그어져 있다. 이때, 두 구의 맨 위 지점 \(\rm P,\;Q\) 를 지나고 직선 \(l\) 에 평행한 평면으로 두 구를 자를 때, 두 구의 단면의 넓이의 합은 \(\dfrac{k}{13}\pi\) 이다. 상수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 153

삼각형 \(\rm ABC\) 의 세 꼭짓점이 구 \(\rm C\) 위에 있다. 점 \(\rm A\) 를 지나면서 평면 \(\rm ABC\) 에 수직인 직선이 구 \(\rm C\) 와 만나는 점을 \(\rm D\) 라고 하자. \(\angle \rm BAC=90^o\) 이고 두 삼각형 \(\rm ABD,\; ACD\) 의 넓이가 같을 때, 사면체 \(\rm ABCD\) 의 부피의 최댓값은 \(\dfrac{p}{q}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, 구 \(\rm C\) 의 반지름의 길이는 \(\sqrt{3}\) 이고, \(p, \;q\) 는 서로소이다. 정답 7

반지름 \(r\) 인 구 위에 네 점 \(\rm A,\;B,\;C,\;D\) 가 있다. 사면체 \(\rm ABCD\) 의 각 모서리의 길이는 \(\overline {\rm AC} = \overline {\rm AD} = \overline {\rm BC} = \overline {\rm BD} = \overline {\rm CD} =2\), $\overline{\rm AB}=\sqrt{3}$ 이다. 이때, \(r^2\) 의 값을 \(\dfrac{q}{p}\) (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 양의 정수)라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 22

\(\overline {\rm AB} =a ,\;\; \overline {\rm AD} = b \;\;\;(a>b>0)\) 인 직사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 대각선 \(\rm BD\) 의 중점 \(\rm M\) 을 지나고 \(\rm BD\) 에 수직인 직선 \(\rm EF\) 를 접는 선으로 하여 평면 \(\rm AEFD\) 와 평면 \(\rm EBCF\) 가 수직이 되도록 접었다. 이 공간도형에서 \(\angle \rm CFD\) 의 크기를 \(\theta \;\;(0

한 평면 위에 있지 않은 네 점 \(\rm A,\;B,\;C,\;D\) 에 대하여 선분 \(\rm BD\), 선분 \(\rm CD\), 선분 \(\rm AC\), 선분 \(\rm AB\) 각각의 중점 \(\rm E,\;F,\;G,\;H\) 는 한 평면 위에 있다. \(\overline {\rm AB}= \overline {\rm CD}=7\), \(\overline {\rm AC}=\overline {\rm BD}=5\), \(\overline {\rm BC}=6\) 이고 평면 \(\rm ABC\) 와 평면 \(\rm BCD\) 가 이루는 각이 \(60^o\) 일 때, 사각형 \(\rm EFGH\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 하자. 이 때, \(4S^2\) 의 값..

정 \(n\) 각 기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 \(f(n)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(3)=3,\;\;f(4)=4\) 이다. 이때, \(\sum \limits _{n=3}^{30} f(n)\) 의 값을 구하시오. 정답 826

좌표공간에서 원점을 지나고 \(y\) 축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\dfrac{\pi}{6}\) 가 되는 직선들의 자취를 \(\rm F\) 라 하자. \(\rm F\) 위의 임의의 점 \(\rm P\) 와 정점 \({\rm A}(1,\;0,\;0)\) 에 대하여 \(\angle \rm AOP = \theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\) 이라 한다. 이때, \(M+m\) 의 값은? (단, \(0

\(\overline {\rm OA} = \overline {\rm OB} = \overline {\rm OC} = \overline {\rm CA} = 7,\;\; \overline {\rm AB}=8,\;\; \overline {\rm BC}=5\) 인 사면체 \(\rm OABC\) 의 꼭짓점 \(\rm B\) 에서 삼각형 \(\rm OAC\) 에 내린 수선의 길이를 구하시오. \(\dfrac{40\sqrt{6}}{21}\)

오른쪽 그림과 같이 \(\overline {\rm AB} = \overline {\rm CD}=5,\;\; \overline {\rm AC} = \overline {\rm BD}=6,\;\; \overline {\rm AD} = \overline {\rm BC}=7\) 인 사면체 \(\rm DABC\) 가 있다. 이 사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구의 겉넓이를 \(S\)라 할 때, \(\dfrac{S}{\pi}\) 의 값을 구하시오. 정답 55