수악중독

좌표공간에서 직선 \(\dfrac{x-1}{2}= y+1=-z\) 가 \(xy\) 평면, \(zx\) 평면과 만나는 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자 이때, 선분 \(\rm AB\) 의 평면 \(x-z=0\) 위로의 정사영의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\) 정답 ①

좌표공간 위에 두 점 \({\rm A}(2, \;0,\;-1),\;\; {\rm B}(a,\;b,\;c)\) 와 평면 \(\alpha : x+2y-z+3=0\) 이 있다. 평면 \(\alpha\) 가 선분 \(\rm AB\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 지나고 직선 \(\rm AB\) 와 수직일 때, \(abc\) 의 값을 구하시오. 정답 \(12\)

좌표공간에서 직선 \(g\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g\) 의 방향벡터 \(\vec{u}=(a,\;b,\;c)\) 에 대하여 \(abc \ne 0\) 이다. (나) 직선 \(g\) 는 원점을 지나는 직선과 점 \((1, \; -1,\; 1)\) 에서 수직으로 만난다. 점 \({\rm A}(0,\;0,\;1)\) 과 직선 \(g\) 사이의 거리의 최솟값은? ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ② \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) 정답 ②

좌표공간에서 평행한 두 직선 \(g_1 : x=0,\; -y+2=\dfrac{z-1}{2},\; \;g_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(g_1\) 위의 한 점과 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) 이다. (나) 원점 \(\rm O\) 와 직선 \(g_2\) 사이의 거리는 \(\dfrac{5}{2}\) 이다. 원점 \(\rm O\) 에서 두 직선 \(g_1, \; g_2\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm H_1 , \; H_2\) 라 할 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OH_1}, \; \overrightarrow{\rm OH_2}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OH_1} \cdot \overri..

좌표평면 위의 점 \({\rm A} (1, \;\sqrt{3} )\) 에 대하여 다음을 만족시키는 점 \(\rm P\) 의 집합을 \(\rm S\) 라 하자. \[\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | =1,\;\; \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \geq \sqrt{2}\] 점 \({\rm B} \left ( - \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; \dfrac{1}{2} \right )\) 과 집합 \(S\) 에 속하는 점 \(\rm P\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OB}, \; \overrightarrow{\rm OP}\) 의 내적 \(\overrightarrow..

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 \(y^2 =12x\) 의 초점을 \(\rm F\), 준선과 \(x\) 축의 교점을 \(F'\) 이라 하고, 포물선 위의 점 \(\rm P\) 에서 준선에 내린 수선의 발을 \(\rm H\) 라 하자. \[\overrightarrow{\rm PF} \cdot \overrightarrow{\rm PF'} \leq \overrightarrow{\rm PF'} \cdot \overrightarrow{\rm PH} \] 를 만족시키는 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm OP\) 의 길이의 최댓값은? (단 \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(2\sqrt{10}\) ② \(\sqrt{42}\) ③ \(3\sqrt{5}\) ④ \(4\sqrt{3}\) ⑤ \(5\sq..

좌표공간 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A} \left ( 0,\; -\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \) 에 대하여 점 \(\rm B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow {\rm OB} \right | = \dfrac{1}{2} \left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \) (나) \(\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}}{\left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \left | \overrightarrow{\rm O..

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 정육각기둥 \(\rm ABCDEF-GHIJKL\) 에서 밑면의 세 대각선 \(\rm GJ,\; HK, \; IL\) 의 교점을 \(\rm O\) 라 하자. 평면 \(\rm BOF\) 와 평면 \(\rm CIJD\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) ② \(\dfrac{\sqrt{15}}{6}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{15}}{7}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{15}}{8}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{15}}{9}\) 정답 ①

그림과 같이 반지름의 길이가 \(4\) 이고 중심이 \(\rm C_1 ,\;C_2\) 인 두 구가 서로 외접해 있고, 반지름의 길이가 \(1\) 이고 중심이 \(\rm C_3\) 인 구가 중심이 \(\rm C_1\) 인 구에만 외접해 있다. 세 구가 같은 평면 \(\alpha\) 에 접하고 삼각형 \(\rm C_1 C_2 C_3\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영을 삼각형 \(\rm C_1 ' C_2 ' C_3 ' = 90^o\) 일 때, 선분 \(\rm C_2 C_3\) 의 길이는? ① \(2\sqrt{14}\) ② \(\sqrt{57}\) ③ \(\sqrt{58}\) ④ \(\sqrt{59}\) ⑤ \(2\sqrt{15}\) 정답 ②

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심 \(\rm G\) 에 접하면서 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면 \(\rm BCD\) 를 포함하는 평면 \(\alpha\) 에 접하는 구가 있다. 구의 중심 \(\rm P\) 와 무게중심 \(\rm G\) 를 지나고 직선 \(\rm CD\) 에 평행한 평면을 \(\beta\) 라 할 때, 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기 \(\theta\) 에 대하여 \(\cos ^2 \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. 이때, 서로소인 두 자연수 \(p, \; q\) 의 합 \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 17