수악중독

함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수를 갖고, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f'(2x)\sin \pi x +x$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는 역함수 $g^{-1}(x)$ 를 갖고, $$\displaystyle \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 2 \int_0^1 f'(2x)\sin \pi x dx +\dfrac{1}{4}$$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_0^2 f(x) \cos \dfrac{\pi}{2} x dx$ 의 값은? ① $-\dfrac{1}{\pi}$          ② $-\dfrac{1}{2\pi}$          ③ $-\dfrac{1}{3\pi}$          ④ $-\dfrac{1}{4\..

양수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=(k-|x|)e^{-x}$$ 이라 하자. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $F(x)$ 에 대하여 $F(0)$ 의 최솟값을 $g(k)$ 라 하자.  모든 실수 $x$ 에 대하여 $F'(x)=f(x)$ 이고 $F(x) \ge f(x)$ 이다.  $g \left (\dfrac{1}{4} \right ) + g \left ( \dfrac{3}{2} \right )=pe+q$ 일 때, $100(p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} xe^{-x}=0$ 이고, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기정답 $25$

함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases} 1-|x| & (x(x-3) \ne 0) \\ 0 & (x(x-3)=0) \end{cases}$$ 이고 함수 $g(x)$ 는 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수이다. $g(0)=5$ 이고 함수 $(g \circ f)(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $g(6)$ 의 값은? ① $245$          ② $247$          ③ $249$          ④ $251$          ⑤ $253$ 더보기정답 ①

수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 위치 $x$ 가 $$x=t^4-4t^3+2kt$$ 이다. 점 $\mathrm{P}$ 가 원점을 출발한 후 운동 방향을 두 번 바꾸도록 하는 정수 $k$ 의 개수는? ① $1$          ② $3$          ③ $5$          ④ $7$          ⑤ $9$ 더보기정답 ④

함수 $f(x)=x^3+6x^2+13x+8$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 와 직선 $y=-x+8$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① $36$          ② $40$          ③ $44$          ④ $48$          ⑤ $52$ 더보기정답 ②

실수 $a, \; b, \; c, \; d$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)dx = 0$(나) $\displaystyle \int_{-1}^1 x f(x) dx = 0$ 함수 $f(x)$ 에 대한 설명으로 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $abcd \ge 0$ㄴ. $abㄷ. $ab>0$ 이면 방정식 $f(x)=0$ 은 열린구간 $(0, \; 1)$ 에서 오직 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ          ② ㄴ          ③ ㄱ, ㄴ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기정답 ⑤

다음 그림과 같이 삼차함수 $f(x)=x^3-x^2-2x$ 의 그래프와 직선 $y=kx$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 하자. $S_2-S_1=18$ 일 때, 실수 $k$ 의 값은?  ① $\dfrac{21}{4}$          ② $\dfrac{23}{4}$          ③ $\dfrac{25}{4}$          ④ $\dfrac{27}{4}$          ⑤ $\dfrac{29}{4}$ 더보기정답 ④

양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases} x^2 -1 & (x ① $\dfrac{14}{3}$          ② $\dfrac{29}{6}$          ③ $5$          ④ $\dfrac{31}{6}$          ⑤ $\dfrac{16}{3}$ 더보기정답 ⑤

두 삼차함수 $f(x), \; g(x)$ 에 대하여 함수 $$h(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{g(x)} & (x \ne 2) \\[10pt] 3 & (x=2) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} h(x)=3$ 이고, $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{1}{h(x)}=\infty$ 이다.(나) 방정식 $h(x)=12$ 가 오직 하나의 실근을 가진다. $h(0)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{7}$          ② $\dfrac{2}{7}$          ③ $\dfrac{3}{7}$          ④ $\dfrac{4}{7}$         ..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=|f(x)|-f'(x)$$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음을 만족시킨다.  (가) $g(0)=f(0)=1$(나) 방정식 $|f(x)|=3$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다.(다) 함수 $g(x)$ 가 $x=k$ 에서 미분불가능한 실수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다. $g(1)$ 의 값은? ① $-1$          ② $0$          ③ $1$          ④ $4$          ⑤ $7$ 더보기정답 ④